Stopień jednomianu – suma wszystkich wykładników potęg przy zmiennych niezerowego jednomianu , np. jednomian
x
y
=
x
1
y
1
{\displaystyle xy=x^{1}y^{1}}
Stopień wielomianu jest to najwyższy ze stopni jego składników (jednomianów ) o niezerowych współczynnikach.
Dla wielomianu jednej zmiennej jest to największa potęga zmiennej, która występuje jawnie w wielomianie .
Stopień wielomianu
f
{\displaystyle f}
deg
f
{\displaystyle \deg f}
degree ).
Niekiedy zakłada się, że jeśli
f
≡
0
,
{\displaystyle f\equiv 0,}
deg
f
=
−
∞
.
{\displaystyle \deg f=-\infty .}
Stopień wielomianu ma następujące własności:
stopień sumy i różnicy wielomianów jest nie większy niż większy z ich stopni:
deg
(
f
±
g
)
⩽
max
(
deg
f
,
deg
g
)
;
{\displaystyle \deg(f\pm g)\leqslant \max(\deg f,\deg g);}
deg
(
f
⋅
g
)
=
deg
f
+
deg
g
.
{\displaystyle \deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g.}
3
x
3
−
2
x
2
+
x
−
1
{\displaystyle 3x^{3}-2x^{2}+x-1}
x
5
+
x
3
−
2
x
+
11
{\displaystyle x^{5}+x^{3}-2x+11}
2
x
{\displaystyle 2x}
−
9
{\displaystyle -9}
0
{\displaystyle 0}
Rozszerzenie pojęcia
edytuj
Stopień wielomianu
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
deg
f
:
=
lim
x
→
∞
log
|
f
(
x
)
|
log
(
x
)
.
{\displaystyle \deg f\colon =\lim _{x\to \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log(x)}}.}
Definicję tę można zastosować dla każdej funkcji ciągłej , która od pewnego miejsca nie zmienia znaku i dla której powyższa granica istnieje. Np.:
deg
1
x
=
−
1
,
{\displaystyle \deg {\tfrac {1}{x}}=-1,}
deg
x
=
1
2
,
{\displaystyle \deg {\sqrt {x}}={\tfrac {1}{2}},}
deg
log
x
=
0
,
{\displaystyle \deg \log x=0,}
deg
exp
x
=
∞
.
{\displaystyle \deg \exp x=\infty .}
Jeśli obliczanie granicy prowadzi do wyrażenia nieoznaczonego
∞
∞
,
{\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }},}
reguły de l’Hospitala . Wówczas
lim
x
→
∞
log
|
f
(
x
)
|
log
(
x
)
=
lim
x
→
∞
(
log
|
f
(
x
)
|
)
′
(
log
(
x
)
)
′
=
lim
x
→
∞
x
f
′
(
x
)
f
(
x
)
.
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {(\log |f(x)|)'}{(\log(x))'}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}.}
Jeśli
deg
f
,
deg
g
{\displaystyle \deg f,\,\deg g}
deg
f
⋅
g
{\displaystyle \deg f\cdot g}
deg
f
⋅
g
=
deg
f
+
deg
g
.
{\displaystyle \deg f\cdot g=\deg f+\deg g.}
x
(
f
g
)
′
f
g
=
x
(
f
′
g
+
f
g
′
)
f
g
=
x
f
′
g
f
g
+
x
f
g
′
f
g
=
x
f
′
f
+
x
g
′
g
.
{\displaystyle {\frac {x(fg)'}{fg}}={\frac {x(f'g+fg')}{fg}}={\frac {xf'g}{fg}}+{\frac {xfg'}{fg}}={\frac {xf'}{f}}+{\frac {xg'}{g}}.}
