Stowarzyszone funkcje Legendre’a

Stowarzyszone funkcje Legendre’a (stowarzyszone wielomiany Legendre’a) – funkcje $P_{l}^{m}(x)$ zmiennej rzeczywistej $x\in [-1,1],$ będące kanonicznymi rozwiązaniami równania różniczkowego Legendre’a

$\left[(1-x^{2}){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-2x{\frac {d}{dx}}+\lambda -{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]f(x)=0,$

gdzie $\lambda ,m$ – parametry równania.

Równanie to ma niezerowe i nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb całkowitych $\lambda ,m,$ takich że

(1) $\lambda =l(l+1)$ oraz

(2) $l,m$ są liczbami całkowitymi, takimi że $0\leqslant m\leqslant l.$

Funkcje te są związane z wielomianami Legendre’a $P_{l}(x)$ zależnością

$P_{l}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{l}(x).$

Stowarzyszone funkcje Legendre’a stanowią zasadniczą część tzw. harmonik sferycznych.

Ogólne rozwiązanie równania Legendre’a

Ogólne rozwiązanie $f(x)$ można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji $P_{l}^{m}(x)$ o różnych wartościach parametrów $l,m.$ Zazwyczaj rozwiązanie takie znajduje się żądając, aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Przykłady wielomianów Legendre’a $P_{l}^{m}(x)$

Associated Legendre functions for m = 4

Kilka pierwszych stowarzyszonych wielomianów Legendre’a, włączając te z ujemnymi wartościami $m,$ są następujące:

(0)

$P_{0}^{0}(x)=1$

(1)

${\begin{alignedat}{1}&P_{1}^{-1}(x)\ &=-{\tfrac {1}{2}}P_{1}^{1}(x)\\&P_{1}^{0}(x)\ &=x\\&P_{1}^{1}(x)\ &=-(1-x^{2})^{1/2}\end{alignedat}}$

(2)

${\begin{alignedat}{1}&P_{2}^{-2}(x)\ &={\tfrac {1}{24}}P_{2}^{2}(x)\\&P_{2}^{-1}(x)\ &=-{\tfrac {1}{6}}P_{2}^{1}(x)\\&P_{2}^{0}(x)\ &={\tfrac {1}{2}}(3x^{2}-1)\\&P_{2}^{1}(x)\ &=-3x(1-x^{2})^{1/2}\\&P_{2}^{2}(x)\ &=3(1-x^{2})\end{alignedat}}$

(3)

${\begin{alignedat}{1}&P_{3}^{-3}(x)\ &=-{\tfrac {1}{720}}P_{3}^{3}(x)\\&P_{3}^{-2}(x)\ &={\tfrac {1}{120}}P_{3}^{2}(x)\\&P_{3}^{-1}(x)\ &=-{\tfrac {1}{12}}P_{3}^{1}(x)\\&P_{3}^{0}(x)\ &={\tfrac {1}{2}}(5x^{3}-3x)\\&P_{3}^{1}(x)\ &=-{\tfrac {3}{2}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}\\&P_{3}^{2}(x)\ &=15x(1-x^{2})\\&P_{3}^{3}(x)\ &=-15(1-x^{2})^{3/2}\end{alignedat}}$

(4)

${\begin{alignedat}{1}&P_{4}^{-4}(x)\ &={\tfrac {1}{40320}}P_{4}^{4}(x)\\&P_{4}^{-3}(x)\ &=-{\tfrac {1}{5040}}P_{4}^{3}(x)\\&P_{4}^{-2}(x)\ &={\tfrac {1}{360}}P_{4}^{2}(x)\\&P_{4}^{-1}(x)\ &=-{\tfrac {1}{20}}P_{4}^{1}(x)\\&P_{4}^{0}(x)\ &={\tfrac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\\&P_{4}^{1}(x)\ &=-{\tfrac {5}{2}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}\\&P_{4}^{2}(x)\ &={\tfrac {15}{2}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})\\&P_{4}^{3}(x)\ &=-105x(1-x^{2})^{3/2}\\&P_{4}^{4}(x)\ &=105(1-x^{2})^{2}\end{alignedat}}$

Funkcje Legendre’a wyrażone za pomocą kąta $\theta$

Funkcje $P_{l}^{m}(\cos \theta )$

Stowarzyszone funkcje Legendre’a są najbardziej użyteczne, gdy ich argument wyrazi się w funkcji kąta: podstawiając do równania Legendre’a (por. wstęp do artykułu) wielkość $x=\cos \theta$ oraz używając relacji $(1-x^{2})^{1/2}=\sin \theta$ otrzymuje się równanie różniczkowe zależne od dwóch parametrów $\lambda ,m$ postaci

$\left[{\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}+\operatorname {ctg} \theta {\frac {d}{d\theta }}+\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,f(\theta )=0.$

Rozwiązaniami tego równania są funkcje $P_{l}^{m}(\cos \theta )$ zmiennej $\theta \in [0,\pi ]$ takie że

$P_{l}^{m}(\cos \theta )=(-1)^{m}(\sin \theta )^{m}\ {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}P_{l}(\cos \theta ),$

gdzie $P_{l}(\cos \theta )$ wielomianami Legendre’a z argumentem $x=\cos \theta ,$ przy czym rozwiązania są nieosobliwe tylko gdy spełnione są warunki:

(1) $\lambda =l(l+1)$ oraz

(2) $l,m$ są liczbami całkowitymi, takimi że $0\leqslant m\leqslant l.$

Relacje ortogonalności

(1) Dla ustalonego $m$ funkcje $P_{l}^{m}(\cos \theta )$ z parametrem $\theta \in [0,\pi ]$ są ortogonalne z wagą $\sin \theta$

$\int _{0}^{\pi }P_{k}^{m}(\cos \theta )P_{l}^{m}(\cos \theta )\,\sin \theta \,d\theta ={\frac {2(l+m)!}{(2l+1)(l-m)!}}\ \delta _{k,l},$

(2) Także, dla danego $l$ mamy

$\int _{0}^{\pi }P_{l}^{m}(\cos \theta )\,P_{l}^{n}(\cos \theta )\operatorname {cosec} (\theta )\,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(l+m)!}{m(l-m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0.\end{cases}}$

Ogólne rozwiązanie

Ogólne rozwiązanie $f(\theta )$ można wyrazić za pomocą kombinacji liniowej dwóch lub większej liczby funkcji $P_{l}^{m}(\cos \theta )$ o różnych wartościach parametrów $l,m.$ Zazwyczaj rozwiązanie takie znajduje się żądając, aby były spełnione odpowiednie warunki początkowe lub brzegowe.

Przykłady stowarzyszonych funkcji Legendre’a $P_{l}^{m}(\cos \theta )$

${\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{8}}(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)\\[8pt]P_{4}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\[8pt]P_{4}^{2}(\cos \theta )&={\tfrac {15}{2}}(7\cos ^{2}\theta -1)\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \theta )&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}(\cos \theta )&=105\sin ^{4}\theta \end{aligned}}$

Zastosowania w fizyce

Równania opisujące układy i pola o symetrii sferycznej

Stowarzyszone wielomiany Legendre’a są głównymi składnikami rozwiązań równań fizycznych w wielu sytuacjach, gdy układy i pola mają symetrią sferyczną. Np. równanie Schrödingera zapisane dla atomu wodoru, gdy na atom nie działa żadne pole zewnętrzne (np. pole magnetyczne) ma symetrię sferyczną. W takich sytuacjach wygodnie jest zapisać równanie różniczkowe w układzie współrzędnych sferycznych $r,\phi ,\theta$ i rozwiązać je metodą separacji zmiennych. Część równania, która zostaje po odrzuceniu części radialnej zależnej od $r,$ ma zwykle postać $\Delta \psi (\theta ,\phi )+\lambda \,\psi (\theta ,\phi )=0,$ przy czym $\Delta$ oznacza operator Laplace’a zapisany we współrzędnych sferycznych, przy założeniu stałości współrzędnej radialnej $r.$ Rozwiązaniami tego równania są tzw. harmoniki sferyczne, będące iloczynami wielomianów Legendre’a (zależnych od kąta $\theta$) i funkcji zależnych od kąta $\phi .$

Równanie $\Delta \psi +\lambda \psi =0$

Wielomiany Legendre’a stanowią główny składnik rozwiązania równania $\Delta \psi +\lambda \psi =0$ określonego na powierzchni sfery dla zmiennych $\phi ,\theta .$ Zapisując operator Laplace’a $\Delta$ we współrzędnych sferycznych dla stałej współrzędnej radialnej $r,$ równanie to przyjmie postać

$\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right]\psi +\lambda \psi =0,$

które rozwiązuje się metodą separacji zmiennych, tj. przyjmując $\psi (\theta ,\phi )=X(\phi )\cdot Y(\theta ).$ Otrzymuje się stąd dwa równania:

(1) równanie zależne od $\phi$

${\frac {d^{2}X}{d\phi ^{2}}}+m^{2}X=0$

– jego rozwiązania są postaci $\sin(m\phi )$ lub $\cos(m\phi ),$ przy czym $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots ,$ aby rozwiązania były jednoznaczne dla powtarzających się wartości kąta co $2\pi ,$ tj. $X(\phi +2\pi m)=X(\phi ).$

(2) równanie zależne od $\theta$

$\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right]Y-\left[\lambda +{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,Y=0$

– jego rozwiązaniami są wielomiany Legendre’a $P_{l}^{m}(\cos \theta )$ mnożone przez dowolną stałą, przy czym $l\geqslant m$ oraz $\lambda =l(l+1),$ aby rozwiązania nie były osobliwe.

Równanie $\Delta \psi +\lambda \psi =0$ posiada więc nieosobliwe rozwiązania tylko dla liczb $\lambda$ takich że $\lambda =l(l+1),$ przy czym rozwiązania te są proporcjonalne do

$P_{l}^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\phi )\quad 0\leqslant m\leqslant l$

i

$P_{l}^{m}(\cos \theta )\ \sin(m\phi )\quad 0<m\leqslant l.$

Dla każdej liczby $l$ mamy $2\ell +1$ funkcji o różnych wartościach $m$ oraz dwie funkcje sin i cos. Funkcje te są ortogonalne zarówno dla różnych wartości liczb $\ell$ oraz $m,$ jeżeli całkuje się je po całej powierzchni sfery.

Rozwiązania te zapisuje się zwykle z użyciem zespolonej funkcji eksponencjalnej

$Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {(2l+1)(l-m)!}{4\pi (l+m)!}}}\ P_{l}^{m}(\cos \theta )\ e^{im\phi }\qquad -l\leqslant m\leqslant l.$

Funkcje $Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )$ nazywa się harmonikami sferycznymi; wielkość pod pierwiastkiem jest czynnikiem normalizacyjnym. Z powyższego wzoru wynika, że zależność między harmonikami sferycznymi o tych samych wartościach $l,$ a przeciwnych wartościach $m,$ spełnia zależność

$Y_{l}^{m\,*}(\theta ,\phi )=(-1)^{m}Y_{l}^{-m\,*}(\theta ,\phi ),$

gdzie $*$ oznacza sprzężenie zespolone.