Subróżniczka, subgradient, subpochodna (podróżniczka, podgradient, podpochodna) – pojęcia pojawiające się w analizie wypukłej, czyli badaniu funkcji wypukłych, często w powiązaniu z optymalizacją wypukłą.

Funkcja wypukła (niebieski) i „podstyczne” w x0 (czerwony).

Motywacja edytuj

Niech   będzie funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych określoną na przedziale otwartym prostej rzeczywistej. Taka funkcja nie musi być różniczkowalna w każdym punkcie: przykładowo funkcja wartości bezwzględnej określona wzorem   jest nieróżniczkowalna dla   Jednakże, jak widać na rysunku po prawej, dla każdego   należącego do dziedziny można nakreślić prostą przechodzącą przez punkt   która w każdym punkcie albo jest styczna, albo leży poniżej wykresu   Właśnie nachylenie tej prostej nazywane jest podpochodną (gdyż prosta leży pod wykresem).

Definicja edytuj

Subpochodną funkcji wypukłej   w punkcie   należącym do przedziału otwartego   nazywa się taką liczbę rzeczywistą   że

 

dla każdego   należącego do   Można pokazać, że zbiór podpochodnych w punkcie   jest niepustym przedziałem domkniętym   gdzie   oraz   oznaczają granice jednostronne

 

oraz

 

które zawsze istnieją i spełniają  

Zbiór   wszystkich podpochodnych nazywa się subróżniczką funkcji   w punkcie  

Przykłady edytuj

Niech dana będzie funkcja wypukła   Jej subróżniczką w początku układu jest przedział   subróżniczka w dowolnym punkcie   jest równa zbiorowi jednoelementowemu   zaś w punktach   jest nią zbiór  

Własności edytuj

  • Funkcja wypukła   jest różniczkowalna w punkcie   wtedy i tylko wtedy, gdy jej subróżniczka składa się tylko z jednego punktu, który jest pochodną w  
  • Punkt   jest minimum globalnym funkcji   wtedy i tylko wtedy, gdy zero zawiera się w subróżniczce, tzn. na powyższym rysunku można nakreślić tylko poziomą „podstyczną” do wykresu   w punkcie   Własność ta jest uogólnieniem faktu, że pochodna funkcji różniczkowalnej zeruje się w minimum lokalnym.

Subgradient edytuj

Zobacz też: gradient (matematyka).

Pojęcia subpochodnej i subróżniczki mogą być uogólnione na funkcje wielu zmiennych. Jeżeli   jest funkcją wypukłą o wartościach rzeczywistych określoną na wypukłym podzbiorze otwartym przestrzeni euklidesowej   to wektor   tej przestrzeni nazywa się subgradientem w punkcie   należącym do   jeśli dla każdego   z   zachodzi

 

gdzie mnożenie po prawej oznacza iloczyn skalarny.

Zbiór wszystkich subgradientów w   nazywa się subróżniczką w   i oznacza symbolem   Subróżniczka jest zawsze niepustym, wypukłym zbiorem zwartym (tzn. domkniętym i ograniczonym).

Pojęcia te uogólniają się dalej na funkcje wypukłe   określone na podzbiorze wypukłym przestrzeni lokalnie wypukłej   Funkcjonał   należący do przestrzeni sprzężonej   nazywa się subgradientem w   należącym do   jeżeli

 

Zbiór wszystkich subgradientów w punkcie   nazywa się subróżniczką w   i także oznacza symbolem   Subróżniczka zawsze jest wypukłym zbiorem domkniętym. Zbiór ten może być pusty: przykładem może być operator nieograniczony, który jest wypukły, lecz nie ma subgradientu. Jeśli   jest ciągła, to subróżniczka nie jest pusta.

Zobacz też edytuj

Bibliografia edytuj

  • Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal: Fundamentals of Convex Analysis. Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.