Jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, to następujące fakty są równoważne (jeśli zachodzi jeden z nich, to automatycznie zachodzą pozostałe):
- półprosta jest symedianą w trójkącie
-
- styczne do okręgu opisanego na czworokącie w punktach i (zielone) oraz prosta przechodząca przez punkty i (niebieska) są współpękowe.
Twierdzenie o symedianie
edytuj
Jeżeli w przez oznaczymy punkt przecięcia symediany poprowadzonej z punktu z bokiem to zachodzi równość:
-
Niech będzie środkiem boku Wtedy z twierdzenia sinusów mamy:
-
-
zatem
-
Ponieważ symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej, to
- oraz
więc
Z twierdzenia sinusów mamy też, że
-
-
więc
-
więc stąd
-
-