System LTI
System LTI, czyli system liniowy niezmienniczy w czasie – system, który jest liniowy ze względu na wszystkie swoje argumenty (czyli elementy) w dowolnej chwili czasu.
Wstęp edytuj
Interpretacja pojęcia sygnału edytuj
Sygnał to w najprostszym rozumieniu zapis pewnej wielkości fizycznej. Jest on zależny od czasu, ponieważ z czasem badane zjawisko może ulegać różnym, badanym zmianom. Można wyobrażać sobie sygnał przykładowo jako pewnego rodzaju funkcję postaci Jednak w analizie danych nie dysponuje się wartościami takiej funkcji dla każdego i dowolnego czasu Fizycznie można bowiem zmierzyć pewną wielkość tylko dla skończonej liczby czasów – przykładowo dla s zmierzono dla otrzymano itd. Nie można jednak zmierzyć wartości dla każdej wartości gdyż wartości jest nieskończenie wiele.
Dlatego też zamiast funkcji określającej sygnał w sposób ciągły korzysta się z wartości dyskretnych: gdzie Ich liczba w danym doświadczeniu jest skończona, przykładowo dla 3 s zapisu pewnego dźwięku, który w przyrodzie jest ciągły (gdyż występuje w dowolnej chwili czasu) można posiadać różne wartości natężenia dźwięku dla = 0 sekundy, = 1 sekundy, = 2 sekundy i = 3 sekundy. Zapisuje się to jako skąd i
![{\displaystyle x[n],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e286f372d35a48fc88332f573f2902beb862047)
![{\displaystyle x[n]=[9,0,-9,-18],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f908108816e96f70ba280121f170bd3ff6e323)
![{\displaystyle x[0]=9,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f1b4eaccf681bdd6575927817b2e0804f00e7f7)
![{\displaystyle x[1]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/097d8bce463d1f3ec037ffeeff433188f85ed290)
![{\displaystyle x[2]=-9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef46ae32394dee1b04b730383439536cf0546a6)
![{\displaystyle x[3]=-18.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f89a7795aef4327f0d231edc85fd46adbe14bf)
Możliwe jest zatem wykonywanie stosownych, interesujących z perspektywy celu badań, operacji, jak dodawanie tych wartości itp.
Zapis (lub ) rozumie się po prostu jako sygnał.
![{\displaystyle x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d)
Interpretacja pojęcia systemu edytuj
System w tym wypadku należy rozumieć jako dowolną fizyczną całość, która fizycznie modyfikuje sygnał w pewien sposób. Przykładem takiego systemu może być filtr. Istotę systemu można przedstawić schematycznie:
![{\displaystyle x[n]{\xrightarrow[{\text{system}}]{}}y[n],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f8e34b002fee4c58b7c04f2bfffa4e2bcff1200)
gdzie to nowe, zmienione systemem, wartości pewnego zjawiska. W ogólnym wypadku, i to wektory, a system jest operatorem (czyli pewną macierzą).
![{\displaystyle y[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305428e6d1fb59cd0163a7a96ace52292a262afa)
Formalnie stosuje się jednak zapis z użyciem symboli:
![{\displaystyle x[n]{\xrightarrow[{T\{\}}]{}}y[n]=T\{x[n]\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f6fec5dad50692338969e5569a0650cd30fdf7)
gdzie oznacza system.
Pojęcia opisujące system edytuj
Liniowość systemu edytuj
Niech dany będzie sygnał postaci gdzie i to pewne stałe wielkości (liczby, których może być więcej), wynikające przykładowo z charakteru przeprowadzanego doświadczenia, a i to pewne sygnały (których również może być więcej). Sygnał taki jest zatem sumą dwóch sygnałów o odpowiednich liczbowych współczynnikach.
System, zapisany jak powyżej, uznaje się za liniowy, jeżeli zmodyfikuje on sygnał typu w następujący sposób:
lub analogicznie. Powyższe przekształcenie stanowi definicję liniowości.
Sekwencja jednostkowa edytuj
Na potrzeby dalszej analizy, zdefiniowano sekwencję jednostkową o symbolu δ[n], będącą sygnałem określonym w następujący sposób:
![{\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1,{\text{ dla }}n=0\\0,{\text{ dla }}n\neq 0\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea5adb30408f82cf4ac37ab7a5175861b79c9d54)
Jest to zatem sygnał, którego wszystkie elementy mają wartość 0, poza pierwszym. Innymi słowy δ[n] = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...].
Z powyższej definicji, sygnał δ[n – k] ma postać
![{\displaystyle \delta [n-k]={\begin{cases}1,{\text{ dla }}n-k=0{\text{, czyli }}n=k\\0,{\text{ dla }}n-k\neq 0{\text{, czyli }}n\neq k\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f19246f4a7bed9518b96777e7aee8b742fc27572)
Jest to zatem sygnał, którego wszystkie elementy mają wartość 0, poza -tym ( jest liczbą całkowitą).
Można zauważyć, że za pomocą sekwencji jednostkowej można zapisać dowolny sygnał jako pewną sumę sekwencji jednostkowych:
![{\displaystyle x[n]=\sum _{k=0}^{N}x[k]\delta [n-k].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa16e657eca50d63ffda0c380e534d4d09fb6db)
gdzie – liczba elementów sygnału. Przykładowo:
![{\displaystyle x[n]=9\cdot [1,0,0,0]+0\cdot [0,1,0,0]+(-9)\cdot [0,0,1,0]+(-18)\cdot [0,0,0,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07790bf3f7f8fa048ebb8cbc638cb22db1bd18a4)
![{\displaystyle x[n]=x[0]\cdot \delta [n-0]+x[1]\cdot \delta [n-1]+x[2]\cdot \delta [n-2]+x[3]\cdot \delta [n-3].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b518653ff49fa3e032ffed0be83a76f788b20a)
Powyższe przekształcenia wynikają z własności wektorów.
System LTI edytuj
Sygnał opisany za pomocą sekwencji jednostkowej można zmodyfikować systemem, otrzymując inny sygnał będący odpowiedzią systemu:
![{\displaystyle y[n]=T{\Big \{}x[n]{\Big \}}=T\left\{\sum _{k=0}^{N}x[k]\delta [n-k]\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bda85624376e9020df0061ebaa3d06f0ca2bd72)
Jeżeli system jest liniowy, to
![{\displaystyle T\left\{\sum _{k=0}^{N}x[k]\delta [n-k]\right\}=\sum _{k=0}^{N}x[k]T{\Big \{}\delta [n-k]{\Big \}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d665a31ab0ac4f321169965c04f20a778cc8051)
Jeżeli system jest również niezmienniczy w czasie, czyli jego parametry są stale takie same, to odpowiedź systemu na sekwencję jednostkową również będzie wciąż taka sama, jako że sekwencja jednostkowa z definicji nie ulega zmianom. Fakt ten uwzględnia się w zapisie
![{\displaystyle T\{\delta [n-k]\}=h[n-k].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c6f638a00a716a4a4198fbf4f348029a7a63426)
Stąd ostatecznie
![{\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{N}x[k]h[n-k].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4011652153c15224ea51ef92b2393b7f3d22a041)
System liniowy i niezmienniczy w czasie nazwano systemem LTI (ang. linear time-invariant). Znając odpowiedź pewnego systemu, będącego systemem LTI, na sekwencję jednostkową (pik), można zatem obliczyć jego odpowiedź na dowolny inny, znany sygnał
Jednocześnie, powyższy zapis jest definicją splotu:
![{\displaystyle y[n]=x[n]\star h[n].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe3c0451e9a9cff1f7ab3460f8cfcd32c2e25e0)