System Trachtenberga

System Trachtenberga – metoda szybkiego liczenia w pamięci iloczynów, wymyślona przez żydowskiego matematyka Jakowa Trachtenberga w czasie, gdy przebywał on w niemieckim obozie koncentracyjnym.

Uwagi wstępne

1. Słowem „sąsiad” opisujemy cyfrę znajdującą się po prawej stronie danej cyfry. Gdy dana cyfra nie ma sąsiada, przyjmujemy 0.
2. Każdej liczbie, na której wykonujemy mnożenie, dodajemy z przodu 0 (np. liczbę 3461, zapisujemy jako 03461).
3. Jako połowę danej cyfry rozumiemy jej połowę zaokrągloną do całości w dół, np. połowa 9 to 4, połowa 1 to 0, połowa 0 to 0.

Mnożenie przez 12

1. Rozważamy liczbę 7117. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 07117.
2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
3. Mnożymy każdą cyfrę przez 2 i dodajemy do niej sąsiada.
4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

• 7 — 7 x 2 + 0 (brak sąsiada) = 1/4 (czwórka zostaje, jedynka idzie w dół)
• 1 — 1 x 2 + 7 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/0
• 1 — 1 x 2 + 1 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 4
• 7 — 7 x 2 + 1 (sąsiad) = 1/5
• 0 — 0 x 2 + 7 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 8

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 85404.

Mnożenie przez 11

1. Rozważamy liczbę 2345. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 02345.
2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
3. Do każdej cyfry dodajemy jej sąsiada.
4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

• 5 — 5 + 0 (brak sąsiada) = 5
• 4 — 4 + 5 (sąsiad) = 9
• 3 — 3 + 4 (sąsiad) = 7
• 2 — 2 + 3 (sąsiad) = 5
• 0 — 0 + 2 (sąsiad) = 2

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 25795.

Mnożenie przez 9

1. Rozważamy liczbę 34567. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 034567.
2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
3. Bierzemy pierwszą cyfrę ze słupka i odejmujemy ją od 10.
4. Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Do wyniku dodajemy sąsiada.
5. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

• 7 —10 - 7 =3
• 6 — (9 - 6) + 7 (sąsiad) = 1/0
• 5 — (9 - 5) + 6 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/1
• 4 — (9 - 4) + 5 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/1
• 3 — (9 - 3) + 4 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/1
• 0 — (9 - 0) + 3 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/3 (jedynka idzie w dół; nie bierzemy jej pod uwagę)

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 311103.

Mnożenie przez 8

1. Rozważamy liczbę 45678. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 045678.
2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
3. Bierzemy pierwszą cyfrę ze słupka i odejmujemy ją od 10. Wynik mnożymy przez 2.
4. Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Wynik mnożymy przez 2. Dodajemy sąsiada.
5. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

• 8 — (10 - 8) x 2 = 4
• 7 — (9 - 7) x 2 + 8 (sąsiad) = 1/2
• 6 — (9 - 6) x 2 + 7 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/4
• 5 — (9 - 5) x 2 + 6 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/5
• 4 — (9 - 4) x 2 + 5 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 1/6
• 0 — (9 - 0) x 2 + 4 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 2/3 (dwójka idzie w dół; nie bierzemy jej pod uwagę)

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 365424.

Mnożenie przez 7

1. Rozważamy liczbę 56789. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 056789.
2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
3. Podwajamy każdą cyfrę i dodajemy do niej połowę sąsiada. Jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta, dodajemy 5.
4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

• 9 — 9 x 2 + 0 (brak sąsiada) + 5 (9 jest nieparzyste) = 2/3
• 8 — 8 x 2 + 4 (sąsiad) + 2 (ta z góry) = 2/2
• 7 — 7 x 2 + 4 (sąsiad) + 5 (7 jest nieparzyste) + 2 (ta z góry) = 2/5
• 6 — 6 x 2 + 3 (sąsiad) + 2 (ta z góry) = 1/7
• 5 — 5 x 2 + 3 (sąsiad) + 5 (5 jest nieparzyste) + 1 (ta z góry) = 1/9
• 0 — 0 x 2 + 2 (sąsiad) + 1 (ta z góry) = 3

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 397523.

Mnożenie przez 6

1. Rozważamy liczbę 67890. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 067890.
2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
3. Dodajemy do każdej cyfry połowę sąsiada. Jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta, dodajemy 5.
4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

• 0 — 0 + 0 (brak sąsiada) = 0
• 9 — 9 + 0 (połowa sąsiada) + 5 (9 jest nieparzyste) = 1/4
• 8 — 8 + 4 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 1/3
• 7 — 7 + 4 (połowa sąsiada) + 5 (7 jest nieparzyste) + 1 (ta z góry) = 1/7
• 6 — 6 + 3 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 1/0
• 0 — 0 + 3 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 4

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 407340.

Mnożenie przez 5

1. Rozważamy liczbę 91372. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 091372.
2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
3. Każdej cyfrze przypisujemy połowę sąsiada. Jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta, dodajemy 5.
4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

• 2 — 0 (brak sąsiada) = 0
• 7 — 1 (połowa sąsiada) + 5 (7 jest nieparzyste) = 6
• 3 — 3 (połowa sąsiada) + 5 (3 jest nieparzyste) = 8
• 1 — 1 (połowa sąsiada) + 5 (1 jest nieparzyste) = 6
• 9 — 0 (połowa sąsiada) + 5 (9 jest nieparzyste) = 5
• 0 — 4 (połowa sąsiada) = 4

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 456860.

Mnożenie przez 4

1. Rozważamy liczbę 8621. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 08621.
2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
3. Pierwszą cyfrę w słupku odejmujemy od 10. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
4. Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Do wyniku dodajemy połowę sąsiada. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
5. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

• 1 — (10 - 1) + 0 (brak sąsiada) + 5 (1 jest nieparzyste) = 1/4
• 2 — 7 + 0 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 8
• 6 — 3 + 1 (połowa sąsiada) = 4
• 8 — 1 + 3 (połowa sąsiada) = 4
• 0 — 9 + 4 (połowa sąsiada) = 1/3 (jedynka idzie w dół; nie bierzemy jej pod uwagę)

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 34484.

Mnożenie przez 3

1. Rozważamy liczbę 5083. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 05083.
2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
3. Pierwszą cyfrę w słupku odejmujemy od 10. Wynik mnożymy przez 2. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
4. Każdą kolejną cyfrę odejmujemy od 9. Wynik mnożymy przez 2. Do wyniku dodajemy połowę sąsiada. Do wyniku dodajemy 5, jeśli cyfra wyjściowa jest nieparzysta.
5. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą od 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

• 3 — (10 - 3) x 2 + 0 (brak sąsiada) + 5 (3 jest nieparzyste) = 1/9
• 8 — (9 - 8) x 2 + 1 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 4
• 0 — (9 - 0) x 2 + 4 (połowa sąsiada) = 2/2
• 5 — (9 - 5) x 2 + 0 (połowa sąsiada) + 5 (5 jest nieparzyste) + 2 (ta z góry) = 1/5
• 0 — (9 - 0) x 2 + 2 (połowa sąsiada) + 1 (ta z góry) = 2/1 (dwójka idzie w dół; nie bierzemy jej pod uwagę)

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 15249.

Mnożenie przez 2

1. Rozważamy liczbę 9870. Zgodnie z uwagą 2 zapisujemy ją jako 09870.
2. Zapisujemy cyfry danej liczby pionowo, zaczynając od ostatniej cyfry i pamiętając o zerze.
3. Podwajamy każdą cyfrę.
4. Jeżeli otrzymamy w jakimś miejscu liczbę większą lub równą 10, np. 12, to zostawiamy 2, a jedynkę przesuwamy niżej.

Rozwiązanie:

• 0 — 0 x 2 = 0
• 7 — 7 x 2 = 1/4
• 8 — 8 x 2 + 1 (ta z góry) = 1/7
• 9 — 9 x 2 + 1 (ta z góry) = 1/9
• 0 — 0 x 2 + 1 (ta z góry) = 1

Wynik odczytujemy, zaczynając od dołu. 19740.