Niech dana będzie funkcja okresowa f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } o okresie T ∈ R + , {\displaystyle T\in \mathbb {R} ^{+},} bezwzględnie całkowalna w przedziale [ − T 2 , T 2 ] . {\displaystyle \left[{\frac {-T}{2}},{\frac {T}{2}}\right].}
Trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji f {\displaystyle f} nazywamy szereg funkcyjny następującej postaci:
S ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ( 2 n π T x ) + b n sin ( 2 n π T x ) ) {\displaystyle S(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos \left({\frac {2n\pi }{T}}x\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2n\pi }{T}}x\right)\right)}
(1.1)
o współczynnikach określonych następującymi wzorami:
a n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) cos ( 2 n π T x ) d x , n = 0 , 1 , 2 , … , {\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(x)\cos \left({\frac {2n\pi }{T}}x\right)dx,\quad n=0,1,2,\dots ,}
(1.2)
b n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) sin ( 2 n π T x ) d x , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle b_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(x)\sin \left({\frac {2n\pi }{T}}x\right)dx,\quad n=1,2,3,\dots }
(1.3)
Powyższe wzory po raz pierwszy ujrzały światło dzienne w pracach Jeana-Baptiste Josepha Fouriera . Niemniej jednak po raz pierwszy wyprowadził je Leonhard Euler (prac na ten temat nie opublikował). Z tego względu wzory te noszą nazwę wzorów Eulera-Fouriera [3] .
W fizyce i technice często spotykane jest następujące oznaczenie (T {\displaystyle T} oznacza okres funkcji) ω = 2 π T . {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}.\ {}} ω {\displaystyle \omega } nosi nazwę pulsacji lub częstości kołowej . Przy zastosowaniu takiego oznaczenia powyższe wzory przyjmują postać:
S ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ( n ω x ) + b n sin ( n ω x ) ) , {\displaystyle S(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos \left(n\omega x\right)+b_{n}\sin \left(n\omega x\right)\right),}
(1.1a)
a n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) cos ( n ω x ) d x , n = 0 , 1 , 2 , … , {\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(x)\cos \left(n\omega x\right)dx,\quad n=0,1,2,\dots ,}
(1.2a)
b n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) sin ( n ω x ) d x , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle b_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(x)\sin \left(n\omega x\right)dx,\quad n=1,2,3,\dots }
(1.3a)
Aproksymacja fali prostokątnej szeregiem Fouriera Aproksymacja fali piłokształtnej szeregiem Fouriera Aproksymacja fali trójkątnej szeregiem Fouriera Poniższe twierdzenia dot. rozwijalności funkcji w szereg Fouriera. W dalszym ciągu zakładamy, że okres funkcji wynosi 2T.
n {\displaystyle n} jest liczbą całkowitą∫ − T T cos n ω x d x = { 0 gdy n ≠ 0 2 T gdy n = 0 , {\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega xdx=\left\{{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}}~~n\neq 0\\&2T&&{\text{gdy}}~~n=0\end{aligned}}\right.,} ∫ − T T sin n ω x d x = 0. {\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\sin n\omega xdx=0.} m , n {\displaystyle m,\ n} są liczbami naturalnymi∫ − T T cos n ω x cos m ω x d x = { 0 gdy n ≠ m T gdy n = m , {\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega x\cos m\omega xdx=\left\{{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}}~~n\neq m\\&T&&{\text{gdy}}~~n=m\end{aligned}}\right.,} ∫ − T T sin n ω x sin m ω x d x = { 0 gdy n ≠ m T gdy n = m , {\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\sin n\omega x\sin m\omega xdx=\left\{{\begin{aligned}&0&&{\text{gdy}}~~n\neq m\\&T&&{\text{gdy}}~~n=m\end{aligned}}\right.,} ∫ − T T sin n ω x cos m ω x d x = 0. {\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}\sin n\omega x\cos m\omega xdx=0.}
1 2 + ∑ n = 1 N cos n α = sin ( N + 1 2 ) α 2 sin 1 2 α {\displaystyle {\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha ={\frac {\sin \left(N+{\frac {1}{2}}\right)\alpha }{2\sin {\frac {1}{2}}\alpha }}}
1 2 + ∑ n = 1 N cos n α = ℜ ( − 1 2 + ∑ n = 0 N e i n α ) = ℜ ( − 1 2 + 1 − e i ( N + 1 ) α 1 − e i α ) = − 1 2 + 1 | 1 − e i α | 2 ℜ ( ( 1 − e i ( N + 1 ) α ) ( 1 − e − i α ) ) = − 1 2 + 1 ( 1 − cos α ) 2 + sin 2 α ℜ ( 1 − e − i α − e i ( N + 1 ) α + e i N α ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\;{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha \\=&\ \Re \left(-{\frac {1}{2}}+\sum _{n=0}^{N}e^{in\alpha }\right)\\=&\ \Re \left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1-e^{i(N+1)\alpha }}{1-e^{i\alpha }}}\right)\\=&-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{|1-e^{i\alpha }|^{2}}}\Re ((1-e^{i(N+1)\alpha })(1-e^{-i\alpha }))\\=&-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{(1-\cos \alpha )^{2}+\sin ^{2}\alpha }}\Re (1-e^{-i\alpha }-e^{i(N+1)\alpha }+e^{iN\alpha })\end{aligned}}} więc mamy (biorąc cześć rzeczywistą i stosując podstawowe wzory trygonometryczne):
1 2 + ∑ n = 1 N cos n α = − 1 2 + 1 − cos α − cos ( N + 1 ) α + cos N α 2 ( 1 − cos α ) = cos N α − cos ( N + 1 ) α 2 ( 1 − cos α ) = 2 sin ( N + 1 2 ) α sin 1 2 α 4 sin 2 1 2 α = sin ( N + 1 2 ) α 2 sin 1 2 α {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\alpha \\=&-{\frac {1}{2}}+{\frac {1-\cos \alpha -\cos(N+1)\alpha +\cos N\alpha }{2(1-\cos \alpha )}}\\=&\;{\frac {\cos N\alpha -\cos(N+1)\alpha }{2(1-\cos \alpha )}}\\=&\;{\frac {2\sin \left(N+{\frac {1}{2}}\right)\alpha \sin {\frac {1}{2}}\alpha }{4\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\alpha }}\\=&\;{\frac {\sin \left(N+{\frac {1}{2}}\right)\alpha }{2\sin {\frac {1}{2}}\alpha }}\end{aligned}}} q. e. d.
Jeżeli f {\displaystyle f} jest funkcją ciągłą w przedziale [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów i bezwzględnie całkowalną w tym przedziale to
lim n → ∞ ∫ a b f ( x ) sin n x d x = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f(x)\sin nx\,{\text{d}}x=0.} Twierdzenie (Eulera–Fouriera)
edytuj
Jeżeli szereg o postaci (1.1) jest jednostajnie zbieżny do funkcji f {\displaystyle f} to współczynniki a k , b k {\displaystyle a_{k},\ b_{k}} wyrażają się wzorami (1.2) , (1.3) .
f ( x ) = a 0 2 + ∑ k = 1 ∞ ( a k cos k ω x + b k sin k ω x ) . {\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos k\omega x+b_{k}\sin k\omega x\right).} Mnożąc powyższą równość przez cos n ω x , {\displaystyle \cos n\omega x,} całkując szereg w granicach od − T {\displaystyle -T} do T {\displaystyle T} (uwzględniając zbieżność jednostajną szeregu stosujemy twierdzenie o całkowaniu szeregu wyraz po wyrazie) otrzymujemy:
∫ − T T f ( x ) cos n ω x d x = a 0 2 ∫ − T T cos n ω x d x + ∑ k = 1 ∞ ( a k ∫ − T T cos n ω x cos k ω x d x + b k ∫ − T T cos n ω x sin k ω x d x ) . {\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega x{\text{d}}x={\frac {a_{0}}{2}}\int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega x{\text{d}}x+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega x\cos k\omega x{\text{d}}x+b_{k}\int \limits _{-T}^{T}\cos n\omega x\sin k\omega x{\text{d}}x\right).} Na mocy lematu I zerują się wszystkie całki po prawej stronie takie że n ≠ k {\displaystyle n\neq k} (gdy n = 0 {\displaystyle n=0} zeruje się cała suma uogólniona). W związku z tym mamy:
∫ − T T f ( x ) cos n ω x d x = a n T . {\displaystyle \int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega x{\text{d}}x=a_{n}T.} Stąd otrzymujemy wzór (1.2) .
Dowód wzoru (1.3) przebiega analogicznie (tym razem mnożymy przez sin n ω x {\displaystyle \sin n\omega x} )
Twierdzenie (o rozwijalności funkcji w szereg Fouriera)
edytuj
Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie x 0 , {\displaystyle x_{0},} to jej szereg Fouriera jest zbieżny do wartości funkcji w tym punkcie. Innymi słowy: w punktach różniczkowalności funkcję da się rozwinąć w szereg Fouriera.
Niech x 0 {\displaystyle x_{0}} będzie punktem, w którym funkcja f(x) jest różniczkowalna; mamy:
a n cos n ω x 0 + b n sin n ω x 0 = 1 T ∫ − T T f ( x ) cos n ω x d x cos n ω x 0 + 1 T ∫ − T T f ( x ) sin n ω x d x sin n ω x 0 = 1 T ∫ − T T f ( x ) ( cos n ω x cos n ω x 0 + sin n ω x sin n ω x 0 ) d x = 1 T ∫ − T T f ( x ) cos n ω ( x − x 0 ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}&\;a_{n}\cos n\omega x_{0}+b_{n}\sin n\omega x_{0}\\=&\;{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega xdx\cos n\omega x_{0}+{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\sin n\omega xdx\sin n\omega x_{0}\\=&\;{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)(\cos n\omega x\cos n\omega x_{0}+\sin n\omega x\sin n\omega x_{0})dx\\=&\;{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega (x-x_{0})dx.\end{aligned}}} Suma cząstkowa szeregu Fouriera przedstawia się w następujący sposób:
S N = 1 2 T ∫ − T T f ( x ) d x + ∑ n = 1 N 1 T ∫ − T T f ( x ) cos n ω ( x − x 0 ) d x = 1 T ∫ − T T f ( x ) ( 1 2 + ∑ n = 1 N cos n ω ( x − x 0 ) ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}S_{N}&={\frac {1}{2T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)dx+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\cos n\omega (x-x_{0})dx\\&={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x)\left({\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\cos n\omega (x-x_{0})\right)dx.\end{aligned}}} Stosując do tego wyrażenia lemat II, otrzymujemy następujący wzór:
S N = 1 T ∫ − T T f ( x ) sin ω ( N + 1 2 ) ( x − x 0 ) 2 sin ω 1 2 ( x − x 0 ) d x . {\displaystyle S_{N}={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x){\frac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)(x-x_{0})}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}(x-x_{0})}}dx.} Funkcja podcałkowa w powyższym wzorze jest funkcją o okresie 2T, możemy więc dokonać przesunięcia w dziedzinie i otrzymujemy:
S N = 1 T ∫ − T T f ( x + x 0 ) sin ω ( N + 1 2 ) x 2 sin ω 1 2 x d x . {\displaystyle S_{N}={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}f(x+x_{0}){\frac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}dx.} Funkcja tożsamościowo równa 1 na całym zbiorze liczb rzeczywistych jest rozwijalna w szereg Fouriera w każdym punkcie, kładąc f ( x ) = 1 , {\displaystyle f(x)=1,} mamy:
1 = 1 T ∫ − T T sin ω ( N + 1 2 ) x 2 sin ω 1 2 x d x . {\displaystyle 1={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}{\frac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}dx.} Mnożąc powyższą równość przez f ( x 0 ) {\displaystyle f(x_{0})} i odejmując obustronnie od równania przedstawiającego sumę cząstkową szeregu, otrzymujemy:
S N − f ( x 0 ) = 1 T ∫ − T T ( f ( x + x 0 ) − f ( x 0 ) ) sin ω ( N + 1 2 ) x 2 sin ω 1 2 x d x . {\displaystyle S_{N}-f(x_{0})={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}(f(x+x_{0})-f(x_{0})){\frac {\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}dx.}
(2)
Rozważmy następującą granicę:
lim x → 0 f ( x + x 0 ) − f ( x 0 ) 2 sin ω 1 2 x = lim x → 0 f ( x + x 0 ) − f ( x 0 ) x x 2 sin ω 1 2 x = f ′ ( x 0 ) ω , {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{x}}{\frac {x}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}={\frac {f'(x_{0})}{\omega }},} przy obliczaniu której korzystamy z różniczkowalności funkcji f(x) w punkcie x 0 . {\displaystyle x_{0}.}
Możemy określić następującą funkcję:
ϕ ( x ) = { f ( x + x 0 ) − f ( x 0 ) 2 sin ω 1 2 x gdy x ≠ 0 f ′ ( x 0 ) ω gdy x = 0 . {\displaystyle \phi (x)=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {f(x+x_{0})-f(x_{0})}{2\sin \omega {\frac {1}{2}}x}}&&{\text{gdy}}~~x\neq 0\\&{\frac {f'(x_{0})}{\omega }}&&{\text{gdy}}~~x=0\end{aligned}}\right..} Mając na uwadze fakt, iż zmiana skończonej ilości wartości funkcji podcałkowej nie wpływa na wartość całki, wzór (2) możemy zapisać w postaci:
S N − f ( x 0 ) = 1 T ∫ − T T ϕ ( x ) sin ω ( N + 1 2 ) x d x . {\displaystyle S_{N}-f(x_{0})={\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}\phi (x)\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)xdx.} Funkcja podcałkowa spełnia założenia lematu Riemanna, tak więc:
lim N → ∞ ( S N − f ( x 0 ) ) = lim N → ∞ 1 T ∫ − T T ϕ ( x ) sin ω ( N + 1 2 ) x d x = 0 , {\displaystyle \lim _{N\to \infty }(S_{N}-f(x_{0}))=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{T}}\int \limits _{-T}^{T}\phi (x)\sin \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right)xdx=0,} czyli:
lim N → ∞ S N = f ( x 0 ) . {\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}=f(x_{0}).} q. e. d.