Szereg Grandiego

Szereg Grandiego – szereg naprzemienny $1-1+1-1+\dots$ zapisywany również jako

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$

Nazwa szeregu pochodzi od Guido Grandiego, który „upamiętnił” swoje przemyślenia na ten temat w 1703 roku. Uważał on, że suma tego szeregu wynosi ${\tfrac {1}{2}}.$ Leibniz zgadzał się z opinią Grandio w liście do Christiana Wolffa z 1713. Dodatkowo określił, że ciąg ten musi posiadać sumę $0$, gdy szereg ma parzystą liczbę elementów oraz $1,$ gdy nieparzystą. Dlatego obie wartości były równie prawdopodobne dla sumy nieskończonej liczby elementów. Stąd wartość ${\tfrac {1}{2}}$. Mimo że szereg rozbieżny z definicji nie posiada sumy, to taki sam wynik daje sumowanie metodą Cesàro.

Heurystyka

Aby znaleźć sumę szeregu

$1-1+1-1+1-1+1-1+\dots$

Grandi próbował grupować sąsiednie wyrazy szeregu, aby znaleźć rozwiązania cząstkowe

$(1-1)+(1-1)+(1-1)+\dots =0+0+0+\dots =0.$

Z drugiej strony, podobna procedura rozmieszczania nawiasów prowadzi do zupełnie innego wyniku:

$1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dots =1+0+0+0+\dots =1.$

Stąd wynika, że w zależności od umieszczenia nawiasów w szeregu, ostateczny wynik może przyjąć jedną z dwóch „wartości”: 0 lub 1.

Stosując przekształcenie podobne do tych, jakie są stosowane dla zbieżnych szeregów geometrycznych, można uzyskać trzecią wartość:

$S=1-1+1-1+\dots ,$ czyli

$1-S=1-(1-1+1-1+\ldots )=1-1+1-1+\ldots =S,$

która w wyniku daje $S={\tfrac {1}{2}}.$ Do tego samego wyniku można dojść obliczając $-S,$ odejmując wynik od $S$ i rozwiązując $2S=1$.

Powyższe przekształcenie nie rozważa, co taka suma właściwie oznacza. Na podstawie wszystkich powyższych metod można wyciągnąć dwa następujące wnioski:

• szereg $1-1+1-1+\ldots$ nie ma sumy
• ..., ale jego suma „powinna” wynosić ${\tfrac {1}{2}}$.

W rzeczywistości oba te twierdzenia można dokładnie i formalnie udowodnić, ale tylko dzięki dobrze zdefiniowanym matematycznym koncepcjom, które powstały w XIX wieku. Zanim to nastąpiło, odpowiedzi na te pytania były „niekończącymi się” i „gwałtownymi” dyskusjami między matematykami.

Zobacz też

• szereg 1 + 1 + 1 + 1 + …

Bibliografia

• Harry F.H.F. Davis Harry F.H.F., Fourier Series and Orthogonal Functions, Dover, maj 1989, ISBN 0-486-65973-9  (ang.).brak strony (książka)
• KeithK. Devlin KeithK., Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe, Scientific American Library, 1994, ISBN 0-7167-6022-3 .
• MorrisM. Kline MorrisM., Euler and Infinite Series, „Mathematics Magazine”, 56 (5), 1983, s. 307–314, DOI: 10.2307/2690371, JSTOR: 2690371 .
• KonradK. Knopp KonradK., Theory and Application of Infinite Series, Dover, 1990, ISBN 0-486-66165-2 .
• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.