Tensor pola elektromagnetycznego

Tensor pola elektromagnetycznego – tensor opisujący pole elektromagnetyczne.

W teorii względności pole elektryczne i pole magnetyczne nie są opisywane za pomocą niezależnych wektorów w trójwymiarowej przestrzeni, lecz są składowymi czterowymiarowego antysymetrycznego tensora drugiego rzędu nazwanego tensorem pola elektromagnetycznego.

Według teorii względności nie istnieją bowiem oddzielnie pole elektryczne, a oddzielnie magnetyczne, ale są one przejawem jednego pola elektromagnetycznego, które może być różnie doświadczane w zależności od prędkości układu odniesienia względem źródła pola.

Tensor pola elektromagnetycznego

(1) Tensor ten definiuje się za pomocą pochodnych czteropotencjału po współrzędnych przestrzennych. W płaskiej czasoprzestrzeni, przyjmując sygnaturę tensora metrycznego w postaci (+,-,-,-), tensor pola elektromagnetycznego ma postać

$F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}$

gdzie $\mu ,\nu =0,1,2,3$

Powyższy wzór definiuje każdą z 16-tu współrzędnych $F_{\mu \nu }$ tensora. W skróconej symbolice definicja powyższa ma postać

$F_{\mu \nu }=\partial _{\nu }A_{\mu }-\partial _{\mu }A_{\nu }$ lub $F_{\mu \nu }=A_{\mu ,\nu }-A_{\nu ,\mu }$

(2) Explicite tensor ten ma postać

$F_{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}0&{\frac {E_{1}}{c}}&{\frac {E_{2}}{c}}&{\frac {E_{3}}{c}}\\-{\frac {E_{1}}{c}}&0&-B_{3}&B_{2}\\-{\frac {E_{2}}{c}}&B_{3}&0&-B_{1}\\-{\frac {E_{3}}{c}}&-B_{2}&B_{1}&0\end{matrix}}\right)$

gdzie

$E_{1},E_{2},E_{3}$ – współrzędne wektora pola elektrycznego

$B_{1},B_{2},B_{3}$ – współrzędne wektora pola magnetycznego

$c$ – prędkość światła

(3) Tensor ten jest antysymetryczny, tzn. przy przestawieniu indeksów jego współrzędne zmieniają znak

$F_{\mu \nu }=-F_{\nu \mu }$

(4) Analogicznie definiuje się tensor kontrawariantno-kontrawariantny (o górnych wskaźnikach).

Tensor dualny pola elektromagnetycznego

Poprzez podstawienia: ${\vec {E}}/c\rightarrow {\vec {B}}$ oraz ${\vec {B}}\rightarrow -{\vec {E}}/c$ otrzymuje się tensor dualny pola elektromagnetycznego

$G^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&-{\frac {E_{z}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}\\-B_{y}&{\frac {E_{z}}{c}}&0&-{\frac {E_{x}}{c}}\\-B_{z}&-{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{x}}{c}}&0\end{bmatrix}}$

Zobacz też

• równania Maxwella
• równania Maxwella we współrzędnych krzywoliniowych
• tensorowe równania Maxwella

Bibliografia

• David J. Griffiths: Podstawy elektrodynamiki. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006.
• L.D. Landau, E.M. Lifszyc: Teoria pola. Warszawa: PWN, 2009.