Teoria Weyla

Teoria Weyla.

Jeśli $x$ jest liczbą rzeczywistą, to niech $[x]$ oznacza największą liczbę całkowitą mniejszą lub równą od $x.$ Wtedy liczbę $[x]$ nazywamy częścią całkowitą liczby $x.$ Część ułamkowa $x$ jest określona przez $\{x\}=x-[x].$ W szczególności, $x\in [0,1)$ dla każdego $x\in \mathbb {R} .$ Na przykład część całkowita i część ułamkowa z liczby $2{,}7$ są równe odpowiednio $2$ i $0{,}7,$ podczas gdy część całkowita i część ułamkowa z liczby $-3{,}4$ są równe odpowiednio $-4$ i $0{,}6.$

Definicja

O ciągu liczb $\xi _{1},\ \xi _{2},\ \ldots ,\ \xi _{n},\ldots$ na przedziale $[0,1)$ mówi się, że są „equidistributed”, na każdym przedziale $(a,b)\subset [0,1)$ mamy:

$\lim _{N\to \infty }{\frac {\{1\leq n\leq N:\xi _{n}\in (a,b)\}}{N}}=b-a$

gdzie A oznacza liczność zbioru skończonego A.

Twierdzenie

Jeśli $\gamma$ jest niewymierne, to sekwencja części ułamkowych $\{\gamma \},\ \{2\gamma \},\ \{3\gamma \},\ldots$ jest „equidistributed” na odcinku $[0,1).$

Lemat

Jeśli $f$ jest ciągła i okresowa o okresie równym $1,$ a $\gamma$ jest niewymiene, to

${\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(n\gamma )\longrightarrow \int _{0}^{1}f(x)\,dx,N\to \infty .$

Wniosek

Teza powyższego lematu obejmuje każdą funkcję f, która jest całkowalna w sensie Riemanna na odcinku $[0,1]$ i okresowa o okresie równym $1.$

Przykład 1

Ciąg

$0,{\frac {1}{2}},0,{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},0,{\frac {1}{4}},{\frac {2}{4}},{\frac {3}{4}},0,{\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},\ldots$

wydaje się być „equidistributed”, gdyż przebiega na odcinku $[0,1)$ równomiernie.

Oczywiście powyższe rozumowanie nie jest dowodem.

Przykład 2

Niech ciąg $(r_{n})_{n=1}^{\infty }$ będzie jakąkolwiek numeracją liczb wymiernych na odcinku $[0,1).$ Wtedy ciąg definiowany tak, że $\xi _{n}=r_{n/2}$ dla $n$ parzystego oraz $0$ dla $n$ nieparzystego. Ciąg ten nie jest „equidistributed”, gdyż „połowa” sekwencji wynosi 0. Niemniej jednak, ta sekwencja jest gęsta.

Bibliografia

• Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction.