Test Craméra-von Misesa

Test Craméra-von Misesa – jeden z testów statystycznych zgodności rozkładu z zadanym rozkładem wzorcowym lub drugą próbą. Zwykle stosuje się go do sprawdzenia zgodności z rozkładem normalnym. Wynaleziony przez Haralda Craméra i Richarda von Mises, którzy zaproponowali go w latach 1928–1930.

Statystyka Craméra-von Misesa

Wersja dla jednej próby i rozkładu wzorcowego

$W^{2}=n\int \limits _{-\infty }^{+\infty }(F_{n}(x)-F(x))^{2}dF(x),$

gdzie:

$F_{n}(x)$ – dystrybuanta empiryczna,

$F(x)$ – dystrybuanta rozkładu wzorcowego,

$n$ – liczność próby.

Zwykle do obliczeń używany jest prostszy wzór:

$W^{2}={\frac {1}{12n}}+\sum \limits _{i=1}^{n}\left(F(X_{(i)})-{\frac {2i-1}{2n}}\right)^{2},$

gdzie:

$X_{(i)}$ – $i$-ta zaobserwowana wartość w próbie uporządkowanej rosnąco,

$F(x)$ – dystrybuanta rozkładu wzorcowego,

$n$ – liczność próby.

Wersja dla dwóch prób

Niech $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ i $y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}$ będą obserwowanymi wartościami w pierwszej i drugiej próbie posortowane rosnąco. Niech $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$ będą rangami obserwacji $x_{i}$ w połączonej próbie (X i Y rangowane razem) i niech $s_{1},s_{2},\dots ,s_{m}$ będą rangami obserwacji $y_{i}$ w połączonej próbie.

Wówczas

$W^{2}={\frac {U}{nm(n+m)}}-{\frac {4mn-1}{6(m+n)}},$

gdzie:

$U=n\sum _{i=1}^{n}(r_{i}-i)^{2}+m\sum _{j=1}^{m}(s_{j}-j)^{2}.$

Właściwości

Test ma lepsze właściwości niż test Kołmogorowa-Smirnowa, lecz jest stosunkowo nieczuły na odstępstwa od rozkładu w punktach dalekich od średniej („ogony” rozkładu). W celu eliminacji tej wady powstała jego modyfikacja, zwana testem Andersona-Darlinga.

Zobacz też

• test Andersona-Darlinga
• test Kołmogorowa-Smirnowa
• test Shapiro-Wilka

Bibliografia

• pomoc do programu SAS 9.1 autorstwa SAS Institute Inc.
• Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Warszawa: WNT, 2001, s. 254. ISBN 83-204-2684-7.

Linki zewnętrzne

• Anderson: On the Distribution of the Two-Sample Cramer-von Mises Criterion, „Annals Math. Stat.” 33, #3 (1962), s. 1148–1159.
• Xiao, Gordon, Yakovlev: A C++ program for the Cramér-von-Mises two sample test, „Journal of Statistical Software”, 17 #8, styczeń 2007.