Test White’a

Test White’a – test pozwalający zbadać, czy wariancja reszt w modelu jest stała, tzn. czy składnik losowy jest homoskedastyczny. Test został zaproponowany przez Halberta White’a w artykule z 1980 roku. Szczególnym przypadkiem testu White’a jest test RESET Ramseya wykorzystywany do testowania poprawności formy funkcyjnej modelu.

Oznaczenia

Rozważamy model postaci

$Y=X\beta +\varepsilon ,$

gdzie $Y$ jest wektorem zaobserwowanych wielkości zmiennej objaśnianej, $X=(X_{1},\dots ,X_{n})^{T}$ jest macierzą wymiaru $n\times K$ zawierającą zaobserwowane wielkości zmiennych objaśniających, zaś $\varepsilon =(\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{n})^{T}$ jest wektorem błędów losowych. Oznaczmy:

• $M_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} (X_{i}^{T}X_{i}),$
• $V_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} (\varepsilon _{i}^{2}X_{i}^{T}X_{i}),$
• $\Psi _{i}$ niech będzie wektorem zawierającym elementy z dolnego trójkąta macierzy $X_{i}^{T}X_{i},$
• ${\bar {\Psi }}_{n}$ niech będzie wektorem zawierającym elementy z dolnego trójkąta macierzy $M_{n},$
• $B_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} ([\varepsilon _{i}^{2}-\sigma ^{2}(\varepsilon _{i})]^{2}(\Psi _{i}-{\bar {\Psi }}_{n})^{T}(\Psi _{i}-{\bar {\Psi }}_{n})).$

Założenia

Zakładamy, że istnieją stałe $\delta ,\Delta >0,$ takie że:

• $\det M_{n},\det V_{n},\det B_{n}>\delta$ dla dostatecznie dużych $n,$
• $\mathbb {E} |\varepsilon ^{4}|^{1+\delta }<\Delta$ dla $i=1,\dots ,n,$
• $\mathbb {E} |X_{ij}X_{ik}X_{il}X_{im}|^{1+\delta }<\Delta$ dla $i=1,\dots ,n$ oraz $j,k,l=1,\dots ,K,$
• ${\frac {1}{n}}\det \sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} ([\varepsilon _{i}^{2}-\sigma ^{2}(\varepsilon _{i})]^{2})>\delta$ dla dostatecznie dużych $n.$

Zakładamy ponadto

• $\mathbb {E} |\varepsilon _{i}|^{4}=\mu _{4}$ dla $i=1,\dots ,n$

Testowane hipotezy

Hipoteza zerowa $H_{0}{:}$

• składnik losowy $\varepsilon$ jest homoskedastyczny,
• zmienne objaśniające są nieskorelowane z zaburzeniem losowym,
• forma funkcyjna modelu jest prawidłowa.

$H_{1}{:}$ $H_{0}$ jest nieprawdziwa

Opis działania

1. Estymujemy wyjściowy model $Y=X\beta +\varepsilon$ i zapamiętujemy wektor reszt ${\hat {\varepsilon }}.$
2. Przeprowadzamy regresję liniową zmiennej ${\hat {\varepsilon }}^{2}$ na stałej oraz zmiennych $\Psi _{1},\dots ,\Psi _{\frac {K(K+1)}{2}}$ (tzn. na stałej, kwadratach zmiennych objaśniających oraz wszystkich mieszanych iloczynach zmiennych objaśniających), uzyskując współczynnik determinacji $R^{2}.$ Przy założeniu $H_{0}$ statystyka $nR^{2}$ ma rozkład $\chi _{K(K+1)/2}^{2}$ (zob. rozkład chi kwadrat).
3. Obliczamy wielkość statystyki $nR^{2}$ i na tej podstawie weryfikujemy hipotezę $H_{0}$ (zob. weryfikacja hipotez statystycznych).

Bibliografia

• Halbert White. A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix Estimator and a Direct Test for Heteroskedasticity. „Econometrica”. 48 (4). s. 817–838.