Test serii

Test serii (zwany też testem serii Stevensa lub testem serii Walda-Wolfowitza) – nieparametryczny test losowości próby. Stosuje się go m.in. do sprawdzenia, czy wyniki eksperymentu spełniają postulat losowości próby.

Hipotezę zerową i alternatywną formułujemy w sposób następujący:

• H₀: dobór jednostek do próby jest losowy; model jest liniowy.
• H₁: dobór jednostek do próby nie jest losowy; model jest nieliniowy.

Jedną z metod weryfikacji wyżej zapisanej hipotezy jest test serii.

Pod pojęciem serii rozumiemy każdy ciąg identycznych elementów w zbiorze uporządkowanym według przyjętego kryterium. Na przykład jeżeli odnotujemy płeć studentów podchodzących kolejno do egzaminu, możemy otrzymać ciąg:

M M Ż Ż M Ż Ż Ż M M Ż M Ż Ż Ż.

W tym przykładowym ciągu, uporządkowanym według kolejności pojawiania się elementów dwóch rodzajów (M i Ż), powstało 8 serii składających się z jednakowych elementów występujących obok siebie. Zakładając, że pojawienie się kolejnych elementów jest losowe, ogólna liczba serii w ciągu n-elementowym jest zmienną losową $K$ o znanym i ujętym w tablice rozkładzie. Jest ona statystyką w opisywanym teście losowości próby.

Sposób wyznaczania wartości statystyki z próby:

1. Kolejno zapisane $n$ obserwacji zmiennej ciągłej tworzy ciąg podstawowy;
2. Obserwacje porządkujemy rosnąco i wyznaczamy medianę;
3. W ciągu podstawowym oznaczamy symbolami $A$ i $B$ wartości różniące się od mediany:
   • $x_{i}<Me$ oznaczamy $A,$
   • $x_{i}>Me$ oznaczamy $B,$
   • $x_{i}=Me$ pomijamy.
4. Analizując ustawienie symboli $A$ i $B,$ zliczamy utworzoną liczbę serii $k,$ która jest wartością statystyki otrzymaną z próby.

Obszar krytyczny testu jest dwustronny.

Jeżeli $n_{A},n_{B}\leqslant 20,$ to wartości krytyczne odczytujemy z tablic rozkładu liczby serii (tablica H) jako:

$k_{1}(\alpha /2;n_{A};n_{B})$ oraz $k_{2}(1-\alpha /2;n_{A};n_{B}),$

gdzie $n_{A}$ i $n_{B}$ oznaczają odpowiednio liczbę elementów oznaczonych symbolami $A$ i $B.$

Zliczoną w próbie liczbę serii $k$ porównujemy z wartościami krytycznymi testu.

Jeżeli wystąpi $k\leqslant k_{1}$ lub $k\geqslant k_{2},$ odrzucamy H₀ na rzecz H₁, co będzie oznaczało, że próba nie ma charakteru losowego.

Jeżeli $n_{A}$ i $n_{B}\geqslant 20,$ to zmienna losowa $K$ dąży asymptotycznie do rozkładu normalnego $\mathrm {N} \{E(K),D(K)\}.$ Wartość średnia i wariancja zmiennej są określone wzorami:

$\mathbb {E} (K)={\frac {2n_{A}n_{B}}{n}}+1,$

$D^{2}(K)={\frac {2n_{A}n_{B}(2n_{A}n_{B}-n)}{(n-1)n^{2}}}.$

Wykorzystując te parametry, obliczamy statystykę $Z,$ która przy założeniu prawdziwości $H_{0}$ ma rozkład N(0,1).

$Z={\frac {K-E(K)}{D(K)}}.$

Zobacz też

• test statystyczny
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki