Tetracja

Tetracja (znana też jako iterowane potęgowanie, superpotęgowanie, wieża wykładnicza lub hiper-4) – działanie dwuargumentowe będące wielokrotnym potęgowaniem elementu przez siebie.

$\lim _{n\to \infty }x^{\frac {n}{}}$ Nieskończona wieża wykładnicza dla podstawy $(e^{-1})^{e}\leqslant x\leqslant e^{e^{-1}})$

Słowo tetracja wymyślił angielski matematyk Reuben Louis Goodstein łącząc tetra- (cztery) i iteracja. W praktyce tetracja jest używana do zapisu bardzo dużych liczb. Poniżej przedstawione są pierwsze cztery hiperoperatory:

1. dodawanie

   $a+n=a+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{n}$

   $a$ powiększone o $1$ $n$ razy.

2. mnożenie

   $a\cdot n=\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}$

   $a$ dodane do siebie $n$ razy.

3. potęgowanie

   $a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n}$

   $a$ pomnożone przez siebie $n$ razy.

4. tetracja

   $^{n}a=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}$

   $a$ potęgowane przez siebie $n$ razy.

gdzie każda operacja jest zdefiniowana przez iterowanie poprzedniej.

W odróżnieniu od pierwszych trzech działań dla tetracji nie ma uogólnienia wartości $n$ na liczby wymierne (a tym bardziej na rzeczywiste).

Definicja

Dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej $a>0$ i nieujemnej liczby całkowitej $n\geqslant 0$ definiujemy $^{n}a$ jako:

${^{n}a}={\begin{cases}1&{\mbox{ jeśli }}n=0\\a^{(^{n-1}a)}&{\mbox{ jeśli }}n>0\end{cases}}$

Iterowane potęgowanie

Jak widać z definicji, kiedy wyliczamy tetrację wyrażoną jako „wieża potęgowania”, potęgowanie rozpoczyna się w najgłębszym poziomie (w zapisie na najwyższym poziomie). Innymi słowy:

$^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{\left(2^{4}\right)}=2^{16}=65\,536.$

Należy pamiętać, że potęgowanie nie jest łączne, czyli obliczanie wyrażenia w odwrotnej kolejności prowadzi do innego wyniku:

$2^{2^{2^{2}}}\neq \left({\left(2^{2}\right)}^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}=256.$

Z tego powodu wyrażenia te muszą być obliczane z góry do dołu (lub od prawej do lewej).

Przykłady

W poniższej tabeli większość wartości jest zbyt duża, by je zapisać w notacji naukowej, zastosowano więc iterowany zapis wykładniczy, aby je wyrazić w podstawie 10. Wartości zawierające przecinek dziesiętny są przybliżone.

$x$	$^{2}x$	$^{3}x$	$^{4}x$
1	1	1	1
2	4	16	65 536
3	27	7 625 597 484 987	$\exp _{10}^{3}(1{,}09902)$
4	256	$\exp _{10}^{2}(2{,}18788)$	$\exp _{10}^{3}(2{,}18726)$
5	3125	$\exp _{10}^{2}(3{,}33931)$	$\exp _{10}^{3}(3{,}33928)$
6	46 656	$\exp _{10}^{2}(4{,}55997)$	$\exp _{10}^{3}(4{,}55997)$
7	823 543	$\exp _{10}^{2}(5{,}84259)$	$\exp _{10}^{3}(5{,}84259)$
8	16 777 216	$\exp _{10}^{2}(7{,}18045)$	$\exp _{10}^{3}(7{,}18045)$
9	387 420 489	$\exp _{10}^{2}(8{,}56784)$	$\exp _{10}^{3}(8{,}56784)$
10	10 000 000 000	$\exp _{10}^{3}(1)$	$\exp _{10}^{4}(1)$

Terminologia

Istnieje wiele określeń dla tetracji, z których każdy ma swoje logiczne uzasadnienie, lecz nie stały się powszechne z różnych powodów. Poniżej jest zestawienie każdego terminu z uzasadnieniem za i przeciw.

• Termin tetracja, wprowadzony przez Goodsteina w 1947 roku w publikacji Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory (uogólniające rekursywne reprezentacje podstawowe użyte w twierdzeniu Goodsteina do zastowania w wyższych operacjach), zdobył dominującą pozycję. Także termin ten spopularyzował Rudy Rucker w pracy Infinity and the Mind.
• Termin superpotęgowanie został opublikowany przez Bromera w Superexponentiation w 1987. Terminu tego używał wcześniej Ed Nelson w swojej książce Predicative Arithmetic, Princeton University Press, 1986.
• Termin hiperpotęgowanie jest naturalnym złożeniem hiper i potęgowanie, który trafnie opisuje tetrację. Problem tkwi w znaczeniu hiper w odniesieniu do hierachii hiper operatorów. Rozważając hiper operatory, termin hiper odnosi się do wszystkich pozycji, a termin super odnosi się do pozycji 4 lub tetracji. Wobec tych rozważań hiperpotęgowanie jest mylące, gdyż odnosi się tylko do tetracji.
• Termin wieża wykładnicza jest używany sporadycznie, w postaci „wieża wykładnicza rzędu $n$” dla $\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}.$

Tetracja jest często mylona z blisko powiązanymi funkcjami i wyrażeniami. To dlatego, że wiele terminów przez nie używane, może być zastosowane w tetracji. Oto kilka powiązanych terminów:

Forma	Terminologia
$a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}$	Tetracja
$a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}$	Iterowana funkcja wykładnicza
$a_{1}^{a_{2}^{\cdot ^{\cdot ^{a_{n}}}}}$	Zagnieżdżone potęgowanie (także wieże)
$a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$	Nieskończone potęgowanie (także wieże)

W pierwszym wyrażeniu $a$ jest podstawą, a ilość pojawiania się $a$ jest wysokością. W trzecim wyrażeniu, $n$ jest wysokością, lecz każda podstawa jest inna.

Należy zachować ostrożność przy powoływaniu się na iterowane potęgowanie, jako że taka forma zapisu wyrażeń nie jest jednoznaczna.

Notacja

Sposoby zapisu tetracji (niektóre z nich pozwalają nawet na wyższy poziom iteracji) obejmują:

Nazwa	Forma	Opis
Zapis standardowy	${}^{n}a$	Używany przez Maurera [1901] i Goodsteina [1947]; Zapis spopularyzował Rudy Rucker w książce Infinity and the Mind.
Notacja strzałkowa Knutha	$a{\uparrow \uparrow }n$	Pozwala na rozszerzenie przez dodanie większej ilości strzałek lub, jeszcze silniej, indeksowanych strzałek.
Zapis łańcuchowy strzałek Conwaya	$a\to n\to 2$	Pozwala na rozszerzenie przez zwiększenie liczby 2 (odpowiednik rozszerzenia powyżej), lecz także jeszcze silniej, przez wydłużenie łańcucha strzałek.
Funkcja Ackermanna	${}^{n}2=\operatorname {A} (4,n-3)+3$	Pozwala w szczególnym przypadku $a=2$ na zapis z punktu widzenia funkcji Ackermanna.
Iterowany zapis wykładniczy	${}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)$	Pozwala na łatwe rozszerzenie do iterowanych potęg dla wartości początkowych innych niż 1.
Zapis Hooshmand	$\operatorname {uxp} _{a}n,\,a^{\frac {n}{}}$
Zapis hiper operator	$a^{(4)}n,\,\operatorname {hyper} _{4}(a,n)$	Pozwala na rozszerzenie przez zwiększenie liczby 4; co daje rodziny hiper operacji.
Zapis ASCII	a^^n	Ponieważ strzałka jest używana identycznie jak daszek (^), operator tetracji może zostać zapisany jako (^^).

Jeden z zapisów powyżej używa iterowanego zapisu wykładniczego, który w ogólności jest zdefiniowana następująco:

$\exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}$ gdzie „$a$” występuje n razy.

Nie ma wielu zapisów dla iterowanego potęgowania, ale oto kilka z nich:

Nazwa	Forma	Opis
Standardowy	$\exp _{a}^{n}(x)$	Euler stworzył zapis $\exp _{a}(x)=a^{x},$ a iteracyjny zapis $f^{n}(x)$ istnieje równie długo.
Zapis strzałkowy Knutha	$(a{\uparrow })^{n}(x)$	Pozwala na superpotęgowanie i funkcje superwykładnicze przez zwiększanie liczby strzałek.
Zapis Ioannis Galidakisa	${}^{n}(a,x)$	Pozwala na duże wyrażenia w podstawie.
ASCII (pomocnicze)	a^^n@x	W oparciu o pogląd, że powtórzony wykładnik jest pomocniczą tetracją.
ASCII (standard)	exp_a^n(x)	Na podstawie standardowego zapisu.

Linki zewnętrzne

• Andrew Robbins’ site on tetration
• Daniel Geisler’s site on tetration
• Tetration Forum
• tetration at citizendium
• Gottfried Helms’ site on tetration
• Why you didn't learn tetration in school w serwisie YouTube