Topologia Vietorisa

Topologia Vietorisa – dla danej przestrzeni topologicznej $X,$ topologia w rodzinie $\mathrm {CL} (X)$ złożonej ze wszystkich niepustych podzbiorów domkniętych $X$ (w hiperprzestrzeni przestrzeni $X$) zadana przez podbazę składającą się ze zbiorów postaci:

• $\{K\in \mathrm {CL} (X)\colon K\subseteq U\},$
• $\{K\in \mathrm {CL} (X)\colon K\cap U\neq \varnothing \},$

gdzie $U$ jest dowolnym zbiorem otwartym w $X$. Baza tej topologii składa się ze zbiorów postaci

$[U_{0},U_{1},\dots ,U_{n}]=\{K\in \mathrm {CL} (X)\colon K\subset U_{0},K\cap U_{i}\neq \varnothing \;\;{\mbox{dla}}\;i=1,\dots ,n\},$

gdzie $U_{1},\dots ,U_{n}$ są otwartymi podzbiorami $X.$

Nazwa topologii pochodzi od nazwiska austriackiego matematyka Leopolda Vietorisa.

Kwestia przynależności zbioru pustego do hiperprzestrzeni

Wyżej przedstawioną konstrukcję można przeprowadzić w taki sam sposób w przypadku gdy $\mathrm {CL} (X)$ oznacza rodzinę wszystkich zbiorów domkniętych w $X,$ tj. deklarując, by zbiór pusty był również elementem $\mathrm {CL} (X)$. Wówczas jest on punktem izolowanym w $\mathrm {CL} (X)$ z topologią Vietorisa ponieważ z otwartoci zbioru pustego wynika, że

$\{\varnothing \}=\{K\in \mathrm {CL} (X)\colon K\subseteq \varnothing \}.$

Symbolem $2^{X}$ (zob. kwestię oznaczeń) oznacza się podprzestrzeń przestrzeni $\mathrm {CL} (X)$ złożoną z niepustych podzbiorów zwartych przestrzeni $X$, chociaż niektórzy autorzy symbol ten rezerwują do wyżej zdefiniowanej przestrzeni $\mathrm {CL} (X)$.

Związek z metryką Hausdorffa

Jeśli $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną a $d_{H}$ jest metryką Hausdorffa na $2^{X}$ związaną z metryką $d,$ to topologia Vietorisa jest zgodna z metryką Hausdorffa.

Wynika stąd następujący wniosek:

Jeśli $X$ jest metryzowalna, to topologia Vietorisa na $2^{X}$ też jest metryzowalna.

Własności

• Jeśli $X$ jest ośrodkowa, to $\mathrm {CL} (X)$ też jest ośrodkowa. Istotnie, jeśli $D\subset X$ jest przeliczalnym gęstym podzbiorem $X,$ to $\{K\in \mathrm {CL} (X):K\subset D,K$ jest skończony, jest przeliczalnym gęstym podzbiorem $\mathrm {CL} (X).$
• Jeśli $X$ jest metryzowalna w sposób zupełny, to $2^{X}$ też jest metryzowalna w sposób zupełny.
• Jeśli $X$ jest zwarta, to $\mathrm {CL} (X)=2^{X}$ też jest zwarta.
• Jeśli $X$ jest zerowymiarowa, to $2^{X}$ też jest zerowymiarowa.
• Jeśli $X$ jest przestrzenią homeomorficzną ze zbiorem Cantora, to $2^{X}$ też jest homeomorficzna ze zbiorem Cantora.
• Przestrzeń $\mathrm {CL} ([0,1]\times \mathbb {R} )$ zawiera homeomorficzną kopię przestrzeni $C[0,1].$ Istotnie, dla każdych dwóch funkcji $f,g\in C[0,1]$ mamy $d_{H}(G_{f},G_{g})=\|f-g\|_{\sup },$ gdzie $G_{f}$ i $G_{g}$ to wykresy funkcji odpowiednio $f$ i $g.$

Zobacz też

• topologia Fella

Bibliografia

• Alexander S. Kechris: Classical descriptive set theory. New York: Springer-Verlag, 1995, s. 156, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 0-387-94374-9.
• Ryszard Engelking: General Topology. T. 6. Berlin: Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, 1989. ISBN 3-88538-006-4. OCLC 20464424.
• Takemi Mizokami, Norihito Shimane: Hyperspaces (b-6). W: red. K.P. Hart, J. Nagata, J.E. Vaughan: Encyclopedia of General Topology. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B.V., 2004, s. 49–52. ISBN 978-0-444-50355-8. OCLC 4934231474.
• A. Illanes, S.B. Nadler, Jr., Hyperspaces: Fundamentals and Recent Advances, „Pure and Applied Mathematics”, Marcel Dekker, Inc., New York, 1999.
• S.B. Nadler, Jr., Hyperspaces of sets, „Monographs and Textbooks in Pure and Applied Math.”, Vol. 49, Marcel Dekker, Inc., New York, N.Y., 1978.