Transformata Radona

Niech $f(x_{1},\dots ,x_{n})$ będzie ciągłą i wystarczająco szybko malejącą w nieskończoności funkcją zmiennych rzeczywistych $x_{i}\in \mathbb {R}$ dla $i=1,\dots ,n.$

Dla dowolnej hiperpłaszczyzny w $\mathbb {R} ^{n}$

$\Gamma =\{(x_{1},\dots ,x_{n}):\xi _{1}{x_{1}}+\dots +\xi _{n}{x_{n}}=C\},$

gdzie $\xi _{i}\in \mathbb {R} ,i=1,\dots ,n$ i $\sum \limits _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2}>0,C\in \mathbb {R}$

definiowana jest całka

$F(\xi _{1},\dots ,\xi _{n},C)={\frac {1}{(\sum \limits _{i=1}^{n}\xi _{i}^{2})^{1/2}}}\int \limits _{\Gamma }f(x_{1},\dots ,x_{n})dV_{\Gamma }$

gdzie $V_{\Gamma }$ jest $(n-1)$-wymiarową objętością na hiperpowierzchni $\Gamma .$ Funkcję

$F(\xi _{1},\dots ,\xi _{n},C),(\xi _{1},\dots ,\xi _{n},C)\in \mathbb {R} ^{n+1}$

nazywamy transformatą Radona lub przekształceniem Radona funkcji $f.$

Transformatę Radona zdefiniował austriacki matematyk Johann Radon w 1917 roku.

Transformata Radona jest funkcją jednorodną stopnia –1:

$F(\alpha \xi _{1},\dots ,\alpha \xi _{n},\alpha C)={\frac {1}{|\alpha |}}F(\xi _{1},\dots ,\xi _{n},C).$

Związek z transformatą Fouriera ${\widehat {f}}(\xi _{1},\dots ,\xi _{n})$ funkcji $f{:}$

$F(\xi _{1},\dots ,\xi _{n},C)={\frac {1}{2\pi }}\cdot \int \limits _{-\infty }^{\infty }{{\widehat {f}}(\alpha \xi _{1},\dots ,\alpha \xi _{n})}e^{-i\alpha C}d\alpha .$

Zobacz też

• transformacja Hougha
• transformacja Mojette

Bibliografia

• Sigurdur Helgason: Groups and Geometric Analysis. Integral Geometry, Invariant Differential Operators and Spherical Functions. Academic Press, 1984.brak strony w książce
• Sigurdur Helgason: The Radon transform. Boston, Basel, Stuttgart: Birkhäuser, 1980.brak strony w książce