Twierdzenie Barbiera

Twierdzenie Barbiera – twierdzenie mówiące o tym, że wszystkie figury o stałej szerokości mają obwód równy ich szerokości pomnożony przez $\pi$. Opublikował je Joseph-Émile Barbier w 1860.

Wielokąty Reuleaux mają stałą szerokość i jeśli mają tę samą szerokość to na mocy twierdzenia Barbiera mają również taki sam obwód

Przykłady

Najbardziej znane przykłady figur o stałej szerokości to koło i trójkąt Reuleaux. Szerokością koła jest jego średnica o długości $d,$ natomiast obwód ma długość $\pi d.$ Trójkąt Reuleaux składa się z trzech łuków okręgu o promieniu $d.$ Każdy z łuków ma kąt środkowy o mierze równej ${\frac {\pi }{3}},$ więc obwód trójkąta Reuleaux o szerokości $d$ jest połową długości okręgu o promieniu $d,$ czyli $\pi d.$ Podobna analiza dla innych prostych przypadków takich jak inne wielokąty Reuleaux daje te same odpowiedzi.

Dowody

Jeden z dowodów twierdzenia korzysta z własności dodawania Minkowskiego. Jeśli $K$ jest ciałem o stałej szerokości $d,$ to wynikiem dodawania Minkowskiego $K$ i jego obrotu o 180° jest koło o promieniu $d$ i obwodzie $2\pi d.$ Jednak dodawanie Minkowskiego jest operacją liniową dla figur wypukłych, więc obwód $K$ musi być połową obwodu koła, czyli $\pi d$ tak jak stanowi teza twierdzenia.

Inny dowód można otrzymać z analizy zagadnienia igły Buffona. Wystarczy zauważyć, że igłę o długości $d$ można zastąpić dowolną łamaną lub krzywą o takiej samej długości. Łamana lub krzywa może być również zamknięta o obwodzie $d.$ Najprostszą krzywą zamkniętą jest okrąg, który można zastąpić dowolną figurą o stałej szerokości.

Wyższe wymiary

W przypadku bryły o stałej szerokości odpowiednik twierdzenia Barbiera jest fałszywy. W szczególności sfera o średnicy $d$ ma powierzchnię $\pi d^{2}$ natomiast powierzchnia bryły wyznaczonej przez obrót trójkąta Reulaux to $\pi \cdot (2-{\frac {\pi }{3}})d^{2}\approx \pi \cdot 0{,}9528\cdot d^{2}$.