Twierdzenie Berry-Essena

Twierdzenie Berry’ego-Esseena – twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa, które daje pewne oszacowanie szybkości zbieżności w centralnym twierdzeniu granicznym.

Motywacja

Centralne twierdzenie graniczne (w wersji dla niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie) mówi w istocie, że

${\mathsf {P}}\left({\frac {X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}{\sigma {\sqrt {n}}}}\leqslant t\right)\to \phi (t)$

gdy $n\to \infty .$ Naturalnym jest pytanie o odległość tych dwóch funkcji w normie supremum i badanie jak maleje ona wraz z $n.$ Całkiem satysfakcjonującą odpowiedź na nie daje nierówność Berry’ego-Esseena: jedynym dodatkowym wymaganiem jest skończoność trzeciego momentu modułu zmiennej.

Twierdzenie

Niech $X_{1},X_{2},\dots X_{n}$ będą takimi niezależnymi zmiennymi losowymi określonymi na wspólnej przestrzeni probabilistycznej, że

• ${\mathsf {E}}X_{i}=0,$
• $\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {Var}}(X_{i})=1,$
• ${\mathsf {E}}|X_{i}|^{3}<\infty$ dla każdego $i\leqslant n.$

Wówczas istnieje taka stała $L\geqslant 0,$ że

$\sup _{t}\left|{\mathsf {P}}\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\leqslant t\right)-\phi (t)\right|\leqslant L\cdot \sum _{i=1}^{n}{\mathsf {E}}|X_{i}|^{3}.$

Wniosek

Jako wniosek można przedstawić nieco inne, niekiedy dogodniejsze, sformułowanie twierdzenia.

Niech $X,X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ będą jednakowymi niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero, wariancji równej $\sigma ^{2}$ i dla których ${\mathsf {E}}|X|^{3}<\infty .$

Wówczas

$\sup _{t}\left|{\mathsf {P}}\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{\sigma {\sqrt {n}}}}\leqslant t\right)-\phi (t)\right|\leqslant L\cdot {\frac {{\mathsf {E}}|X|^{3}}{\sigma ^{3}{\sqrt {n}}}}$.

Dowód wniosku

Niech ${\tilde {X_{i}}}={\frac {X_{i}}{\sigma {\sqrt {n}}}},$ przez co

$\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {E}}{\tilde {X_{i}}}^{2}=1.$

Zmienne ${\tilde {X_{i}}}$ spełniają wtedy założenia twierdzenia i zastosowanie go daje tezę wniosku, gdyż

$\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {E}}|{\tilde {X_{i}}}|^{3}={\frac {1}{\sigma ^{3}n^{\frac {3}{2}}}}n{\mathsf {E}}|X|^{3}={\frac {{\mathsf {E}}|X|^{3}}{\sigma ^{3}{\sqrt {n}}}}.$

Uwagi

Stała L jest szacowana z coraz większą dokładnością, poczynając od $L=0.7975$ (von Beek, 1972), przez $L=0.7655$ (Shiganov, 1986), $L=0.7056$ (Shevtsova, 2007), $L=0.5129$ (Shevtsova, 2008), aż do $L=0.6379$ w przypadku ogólnym oraz $L=0.5894$ dla sumy zmiennych o takich samych rozkładach (Tyurin, 2009).

Oszacowanie jest asymptotycznie dobre, istnieje przykład pokazujący, że stała $L$ z twierdzenia musi spełniać nierówność

$L\geqslant {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\approx 0{,}4.$

Przykład

Ponieważ prawdziwość twierdzenia Berry’ego-Esseena ze stałą $L$ implikuje prawdziwość wniosku dla jednakowych, niezależnych zmiennych losowych ze stałą $L$ to dla wskazania kontrprzykładu dla pewnej stałej wystarczy wskazać kontrprzykład dla tej stałej dla wniosku.

Niech $X,X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ będą jednakowymi, niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że ${\mathsf {P}}(X=\pm 1)={\tfrac {1}{2}}.$ Wówczas $\sigma ^{2}=1.$ Niech $n=2k,k\in \mathbb {Z} .$

Wówczas

${\begin{aligned}&{\mathsf {P}}\left({\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{\sqrt {n}}}\leqslant 0\right)-\phi (0)\\={}&{\frac {1+{\mathsf {P}}(X_{1}+\ldots +X_{n}=0)}{2}}-{\frac {1}{2}}\\={}&{\tfrac {1}{2}}{\mathsf {P}}(X_{1}+\ldots +X_{n}=0)={\tfrac {1}{2}}2^{-2k}{\tbinom {2k}{k}}.\end{aligned}}$

Ze wzoru Stirlinga wynika

$n!={\sqrt {2\pi n}}({\tfrac {n}{e}})^{n}(1+O({\tfrac {1}{n}})).$

Zatem

$2^{-2k}{\tbinom {2k}{k}}=2^{-2k}{\frac {(2k)!}{(k!)^{2}}}=2^{-2k}{\frac {\sqrt {4\pi n}}{2\pi n}}{\frac {({\frac {2k}{e}})^{2k}}{({\frac {k}{e}})^{2k}}}(1+O({\tfrac {1}{n}}))={\frac {1}{\sqrt {nk}}}(1+O({\tfrac {1}{n}})).$

Stąd zaś

${\mathsf {P}}\left({\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{\sqrt {n}}}\leqslant 0\right)-\phi (0)={\frac {1}{\sqrt {2\pi n}}}(1+O({\tfrac {1}{n}})),$

co jest oszacowaniem dolnym $L,$ które wynosi ${\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}.$

Linki zewnętrzne

• Chen, Po-Ning (2002). Asymptotic Refinement of the Berry-Esseen Constant