Twierdzenie Caseya

Twierdzenie Caseya – twierdzenie geometrii euklidesowej, będące uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza, nazwane na cześć irlandzkiego matematyka Johna Caseya .

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{41}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0$

Wypowiedź twierdzenia

Animacja pokazująca, jak twierdzenie Caseya degeneruje się do twierdzenia Ptolemeusza

Niech $O$ będzie okręgiem o promieniu $R.$ Niech $O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ będą (w tej kolejności) czterema okręgami zawierającymi się i stycznymi od wewnątrz do okręgu $O.$ Oznaczmy przez $t_{ij}$ długość odcinka zawartego pomiędzy punktami styczności na stycznej zewnętrznej do okręgów $O_{i},O_{j}.$ Wtedy zachodzi :

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{41}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.$

(1)

Zauważmy, że gdy okręgi degenerują się do punktów, twierdzenie to przybiera postać twierdzenia Ptolemeusza.

Dowód

Elementarny dowód tego twierdzenia pochodzi z pracy Zachariasa  . Oznaczmy promień okręgu $O_{i}$ przez $R_{i},$ a jego punkt styczności z okręgiem $O$ przez $K_{i}.$ Środki okręgów będziemy oznaczali przez $O$ oraz $O_{i}.$ Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że

$t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}.$

(1a)

Zależności pomiędzy odcinkami stycznymi wewnętrznymi (po lewej) oraz zewnętrznymi (po prawej) do okręgów $O_{i},O_{j}$

Będziemy chcieli wyrazić prawą stronę tej równości przy użyciu punktów $K_{i},K_{j},$ by móc zastosować twierdzenie Ptolemeusza. Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta $O_{i}OO_{j}$ wynika, że

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}$

(1b)

Ponieważ okręgi $O,O_{i}$ są do siebie styczne, zachodzi

$\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j},$

a ponieważ są styczne wewnętrznie

${\overline {OO_{i}}}=R-R_{i}.$

Łatwo również zauważyć, że kąty $\angle K_{i}CK_{j}$ i $\angle K_{i}OK_{j}$ to, odpowiednio, kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku $K_{i}K_{j}.$ Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym wynika, że

$\angle K_{i}CK_{j}=2\angle K_{i}OK_{j}$

Niech $C$ będzie punktem na okręgu $O.$ Z twierdzenia sinusów w trójkącie $K_{i}CK_{j}{:}$

${\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}$

Zatem

$\cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}$

podstawiając je do wzoru (1b):

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)$

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}$

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}$

${\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R_{i}-R_{j})^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}$

Ostatecznie, długość której szukamy, to

$t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}.$

(1c)

Możemy teraz obliczyć ile wynosi lewa strona równania (1); wymnażając wartości $t_{ij}$ oraz używając oryginalnego twierdzenia Ptolemeusza, zastosowanego do wpisanego czworokąta $K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}$ otrzymujemy:

${\begin{aligned}&t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}\\[1ex]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)\\[1ex]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)\\[1ex]={}&t_{13}t_{24},\end{aligned}}$

co było do okazania.

Uogólnienia i uwagi

Przypadek twierdzenia Caseya, gdy dwa okręgi są styczne wewnętrznie, a dwa zewnętrznie

Łatwo wyobrazić sobie przypadek, gdy nie wszystkie z czterech mniejszych okręgów są styczne wewnętrznie. Twierdzenie powyższe, z drobną modyfikacją, pozostaje prawdziwe dla okręgów stycznych zarówno wewnętrznie, jak i zewnętrznie:

Jeśli $O_{i},O_{j}$ są oba styczne z tej samej strony $O$ (tj. oba zewnętrznie lub oba wewnętrznie), to $t_{ij}$ jest długością odcinka stycznej zewnętrznej zawartego pomiędzy punktami styczności.

Jeśli zaś $O_{i},O_{j}$ są styczne z różnych stron $O$ (jeden zewnętrznie, a drugi wewnętrznie), to $t_{ij}$ jest długością odcinka stycznej wewnętrznej zawartego pomiędzy punktami styczności.

Tok dowodu podanego powyżej pozostaje taki sam, poza zmianą dwóch wielkości: jeśli okrąg $O_{i}$ jest styczny zewnętrznie do $O,$ to oczywiście

${\overline {OO_{i}}}=R+R_{i}.$

Oprócz tego, gdy $O_{i},O_{j}$ są styczne po przeciwnych stronach okręgu $O$ (ponownie załóżmy, że $O_{i}$ jest styczny zewnętrznie, a $O_{j}$ wewnętrznie), to długość odcinka $t_{ij}$ (1a) spełnia wtedy zależność

Przypadek twierdzenia Caseya, gdy jeden okręg jest styczny wewnętrznie, a trzy zewnętrznie

$t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}+R_{j})^{2},$

co po analogicznych przekształceniach daje

$t_{ij}={\frac {{\sqrt {R+R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}.$

Gdy z kolei oba okręgi $O_{i},O_{j}$ są styczne zewnętrznie, to odcinek styczny ponownie spełnia zależność (1a), a jego długość wynosi

$t_{ij}={\frac {{\sqrt {R+R_{i}}}\cdot {\sqrt {R+R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}.$

Ostatecznie więc, dla dwóch okręgów $O_{i},O_{j},$ stycznych, w tej kolejności, do $O$ w dowolny sposób zmodyfikowana długość odcinka $t_{ij}$ (1c) wynosi

$t_{ij}={\frac {{\sqrt {R\pm R_{i}}}\cdot {\sqrt {R\pm R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}},$

gdzie znak w wyrażeniach $R\pm R_{i}$ zależy od tego, czy okrąg $O_{i}$ jest styczny wewnętrznie (-), czy zewnętrznie (+).

Twierdzenie odwrotne

Należy również zauważyć, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia Caseya jest prawdziwe. Jeśli zachodzi równość (1), to okręgi dane są styczne. Co więcej, prawdziwe jest mocniejsze twierdzenie :

Niech dane będą cztery okręgi $O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}.$ Dla pewnych odcinków stycznych (wewnętrznych lub zewnętrznych) $t_{ij}$ pomiędzy okręgami $O_{i},O_{j}$ zachodzi

$t_{12}t_{34}\pm t_{23}t_{41}\pm t_{13}t_{24}=0,$

(3)

wtedy i tylko wtedy, gdy okręgi te są w tej kolejności styczne do pewnego okręgu $O.$ Ponadto, rodzaj odcinków stycznych użytych w (3) określa jak okręgi te są styczne:

• jeśli wszystkie odcinki styczne są zewnętrzne, to wszystkie okręgi $O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ są styczne w ten sam sposób do $O$ (albo wszystkie wewnętrznie, albo wszystkie zewnętrznie),
• jeśli odcinki styczne wychodzące z jednego z okręgów są innego rodzaju niż pozostałe trzy, to okrąg ten jest styczny w inny sposób, niż pozostałe trzy,
• jeśli okręgi $O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ można podzielić w pary tak, by odcinki styczne pomiędzy okręgami w każdej z par są odcinkami stycznymi zewnętrznymi, a pomiędzy okręgami różnych par – zewnętrznymi, to okręgi w parach są tak samo styczne do okręgu $O.$

Zastosowania

Twierdzenie Caseya i twierdzenie doń odwrotne jest używane do dowodzenia wielu twierdzeń z geometrii euklidesowej. Najkrótszym znanym dowodem twierdzenia Feuerbacha jest użycie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Caseya  . Wykorzystanie twierdzenie Caseya znaleźć można również w jednej z japońskich zagadek rysunkowych sangaku z 1874 roku  .

Bibliografia

• O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.
• M. Zacharias. Der Caseysche Satz. „Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung”. 52, s. 79–89, 1942. 
• John Casey. „Math. Proc. R. Ir. Acad.”. 9. s. 396. 
• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry (dawn. Modern Geometry). Nowy York: Dover, 1960.
• Henryk Pawłowski, Joanna Zakrzewska: O pewnym uogólnieniu Twierdzenia Ptolemeusza. W: Matematyka. Poszukuję - odkrywam. Zeszyt 1. Kraków: Wydawnictwo Szkole Omega, 2010, s. 13–24.
• Tony Rothman, Hidetoshi Fukagawa. Japanese temple geometry. „Scientific American”, s. 84–91, maj 1998. 
• Anna Dymek. Japońska geometria świątynna. „Delta”, maj 2012. 
• Shailesh Shirali: On a generalized Ptolemy Theorem.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Casey’s Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-14]  (ang.).