Twierdzenie Darboux

twierdzenie analizy matematycznej

Twierdzenie Darboux, twierdzenie o wartości pośredniej[1]twierdzenie analizy rzeczywistej mówiące, że każda rzeczywista funkcja ciągła określona na przedziale rzeczywistym ma własność Darboux, tj. przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między obrazami jego krańców[2][3]. Stąd inna nazwa twierdzenia: twierdzenie o przyjmowaniu wartości pośrednich[potrzebny przypis].

Twierdzenie jest nazwane od Jeana Darboux; wiążą się z nim również nazwiska Bernarda Bolzana i Augustina Louisa Cauchy’ego (nazwy twierdzenie Bolzana-Cauchy’ego lub twierdzenie Cauchy’ego nie zdobyły popularności w polskiej literaturze matematycznej).

Twierdzenie edytuj

Niech   będzie funkcją ciągłą. Jeżeli   (tzn. wartości funkcji   na końcach przedziałów mają różne znaki), to istnieje taki punkt   w przedziale   dla którego

 

Ogólniej: każda funkcja ciągła   ma własność Darboux, tzn. jeśli   spełnia jedną z nierówności   lub   to istnieje taki punkt   w przedziale   dla którego

 

Oba sformułowania są równoważne: funkcje   w obu z nich różnią się jedynie o stałą  

Dowody edytuj

Analityczny z definicji Cauchy’ego ciągłości edytuj

Niech   Bez straty ogólności można założyć, że   jest liczbą z przedziału otwartego  

Niech

 
 

Wówczas zbiory   i   są niepuste. Zbiór A posiada ograniczenie górne, którym jest   więc istnieje na mocy aksjomatu ciągłości   Dla danych   oraz   oznaczmy

 

Wykażemy, że   Istotnie, wobec ciągłości funkcji, właściwości supremum oraz rozłączności zbiorów   i   spełnione są następujące ciągi implikacji:

 

czyli:

 

w innym przypadku:

 

Zatem poprzez sprzeczność dowodzi się, że nie jest możliwym aby  

Analityczny z definicji Heinego ciągłości edytuj

Niech   będzie funkcją oraz niech   będzie liczbą z przedziału otwartego   Zastosujmy rozumowanie analogiczne do metody równego podziału.

Zdefiniujmy indukcyjnie ciągi      

  •  
  • jeśli   to koniec dowodu,
    jeśli   to    
    jeśli   to    
     

Tak zdefiniowane ciągi   mają następujące własności:

  1.  
  2.  
  3.  

Z własności 1. 2. wynika, że ciągi   jako monotoniczne i ograniczone są zbieżne i maję tę samą granicę. Oznaczmy

 

Na podstawie ciągłości funkcji   ciągi   są zbieżne, mają tę samą granicę oraz

 

Jednocześnie z własności 3. wynika zachowanie nierówności przy przejściu granicznym, tzn.

 

Stąd

 

Topologiczny edytuj

Niech   będzie funkcją oraz niech   będzie liczbą z przedziału otwartego   Przypuśćmy, że   nie jest wartością funkcji   Wówczas przeciwobraz przestrzeni topologicznej   powinien być równy dziedzinie (którą tutaj jest przedział  ), jednak wobec ciągłości funkcji będzie on sumą dwóch niepustych, rozłącznych, otwartych przeciwobrazów, a zatem przestrzenią niespójną, co wyklucza się z faktem spójności drogowej dziedziny. Wobec czego poprzez sprzeczność dowodzi się, że   nie może nie być wartością funkcji.

Przedstawione rozumowanie wiąże się z twierdzeniem o szerszym zakresie mówiącym, że ciągły obraz zbioru spójnego jest zbiorem spójnym. Przykładem funkcji ciągłej o niespójnym zbiorze wartości i niespójnej dziedzinie jest signum, tj. funkcja   określona na zbiorze liczb rzeczywistych bez zera  [4][5][6].

Przypisy edytuj

  1.   Piotr Stachura, Twierdzenie Darboux, kanał Khan Academy na YouTube, 13 lipca 2017 [dostęp 2023-11-22].
  2.   Michał Bełdziński, Twierdzenie Darboux. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-11-22].
  3. Darboux własność, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2023-11-22].
  4. Dziubiński i Świątkowski 1985 ↓, s. 528.
  5. Maurin 1976 ↓, s. 47.
  6. Rudin 1996 ↓, s. 80.

Bibliografia edytuj

Literatura dodatkowa edytuj

Linki zewnętrzne edytuj