Twierdzenie Gaussa-Lucasa

Twierdzenie Gaussa-Lucasa podaje geometryczną zależność pomiędzy zespolonymi zerami wielomianu $p(z)$ a zerami jego pochodnej $p'(z)$ na płaszczyźnie zespolonej $\mathbb {C} .$ Stwierdza ono, że miejsca zerowe pochodnej wielomianu leżą w otoczce wypukłej zbioru zer wyjściowego wielomianu. Ponieważ niezerowy wielomian posiada skończoną liczbę miejsc zerowych, więc otoczka wypukła jego zer jest najmniejszym wypukłym wielokątem na płaszczyźnie zawierającym te zera.

W pewnym stopniu twierdzenie to jest podobne do twierdzenia Rolle’a z rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej, z którego wynika, że pomiędzy dwoma zerami funkcji różniczkowalnej istnieje zero jej pochodnej. Jednak twierdzenie Rolle’a dotyczy dowolnej funkcji różniczkowalnej (wielomiany rzeczywiste są tylko szczególnym przypadkiem), ale z drugiej strony geometria twierdzenie Rolle’a jest bardzo elementarna, gdyż dotyczy ona jednowymiarowej linii prostej $\mathbb {R} ,$ podczas gdy twierdzenie Gaussa-Lucasa opisuje rozmieszczenie zer na dwuwymiarowej płaszczyźnie.

Formalna wypowiedź

Jeżeli $p$ jest różnym od stałej wielomianem o współczynnikach zespolonych, to wszystkie zera wielomianu $p'$ należą do wypukłej otoczki zbioru zer wielomianu $p.$

Dowód

Dowód tego twierdzenia jest stosunkowo prosty i opiera się przede wszystkim na zasadniczym twierdzeniu algebry. Z twierdzenia tego wiemy, że każdy wielomian zespolony można rozłożyć na czynniki pierwsze postaci $z-z_{k},$ gdzie $z_{k}$ to pierwiastki wielomianu. Niech więc $p(z)$ będzie wielomianem stopnia $n\geqslant 1,$ którego pierwiastki (niekoniecznie różne) to $z_{1},\dots ,z_{n}\in \mathbb {C} .$ Zatem mamy

$p(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\ldots (z-z_{n}),$

gdzie $a_{n}\neq 0$ jest współczynnikiem wielomianu przy najwyższej potędze $z^{n}.$ Policzmy teraz pochodną wielomianu tak zapisanego:

$p'(z)=a_{n}((z-z_{2})\ldots (z-z_{n})+(z-z_{1})(z-z_{3})\ldots (z-z_{n})+\ldots +(z-z_{1})(z-z_{2})\ldots (z-z_{n-1})),$

i podzielmy $p'(z)$ przez $p(z),$ co daje

${\frac {p'(z)}{p(z)}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z-z_{k}}}.$

Niech $w\in \mathbb {C}$ będzie dowolnym pierwiastkiem pochodnej: $p'(w)=0.$ Jeżeli $w\in \{z_{1},\dots ,z_{n}\},$ to nie ma czego dowodzić, gdyż oczywiście wtedy $w$ należy do otoczki wypukłej zbioru $\{z_{1},\dots ,z_{n}\}.$ Niech więc $w\notin \{z_{1},\dots ,z_{n}\},$ to z powyższej równości otrzymamy

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{w-z_{k}}}=0,$

co po skorzystaniu z elementarnej tożsamości $z^{-1}={\overline {z}}/|z|^{2}$ daje

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {{\overline {w}}-{\overline {z_{k}}}}{\vert w-z_{k}\vert ^{2}}}=0.$

Biorąc teraz sprzężenie zespolone obu stron, otrzymamy

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {w-z_{k}}{\vert w-z_{k}\vert ^{2}}}=0,$

co po przekształceniu daje

$\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\vert w-z_{k}\vert ^{2}}}\right)w=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\vert w-z_{k}\vert ^{2}}}z_{k}.$

Oznaczając

$t_{k}=\left({\frac {1}{\vert w-z_{k}\vert ^{2}}}\right)/\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{\vert w-z_{j}\vert ^{2}}}\right),$

mamy $t_{1},\dots t_{n}\in [0,1],\quad \sum _{k=1}^{n}t_{k}=1$ oraz

$w=\sum _{k=1}^{n}t_{k}z_{k},$

co jest kombinacją wypukłą wektorów $z_{1},\dots ,z_{n}.$

Bibliografia

• K. Szyszkiewicz, R. Filipek, Metody matematyczne i numeryczne dla ceramików, Wyd. AGH, Kraków 2013.

Linki zewnętrzne

• Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków (Dodatek do skryptu, s. 12)
• Uniwersytet Warszawski (Zadania z funkcji analitycznych). duch.mimuw.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2014-07-26)].