Twierdzenie Hurwitza – twierdzenie dotyczące własności pierwiastków zespolonych pewnych wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. Jego autorem jest niemiecki matematyk Adolf Hurwitz .
Niech
f
(
z
)
=
a
n
z
n
+
a
n
−
1
z
n
−
1
+
⋯
+
a
2
z
2
+
a
1
z
+
a
0
{\displaystyle f(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dots +a_{2}z^{2}+a_{1}z+a_{0}}
n
⩾
1
,
a
n
≠
0
,
a
0
>
0.
{\displaystyle n\geqslant 1,\quad a_{n}\neq 0,\quad a_{0}>0.}
pierwiastki wielomianu
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
wyznaczniki
W
1
=
a
1
,
W
2
=
|
a
1
a
0
a
3
a
2
|
,
W
3
=
|
a
1
a
0
0
a
3
a
2
a
1
a
5
a
4
a
3
|
,
W
4
=
|
a
1
a
0
0
0
a
3
a
2
a
1
a
0
a
5
a
4
a
3
a
2
a
7
a
6
a
5
a
4
|
,
{\displaystyle W_{1}=a_{1},\quad W_{2}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{0}\\a_{3}&a_{2}\end{vmatrix}},\quad W_{3}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{0}&0\\a_{3}&a_{2}&a_{1}\\a_{5}&a_{4}&a_{3}\end{vmatrix}},\quad W_{4}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{0}&0&0\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}\end{vmatrix}},}
W
5
=
|
a
1
a
0
0
0
0
a
3
a
2
a
1
a
0
0
a
5
a
4
a
3
a
2
a
1
a
7
a
6
a
5
a
4
a
3
a
9
a
8
a
7
a
6
a
5
|
,
…
,
W
n
=
|
a
1
a
0
0
⋯
0
a
3
a
2
a
1
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
2
n
−
1
a
2
n
−
2
a
2
n
−
3
⋯
a
n
|
,
{\displaystyle W_{5}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{0}&0&0&0\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&a_{3}\\a_{9}&a_{8}&a_{7}&a_{6}&a_{5}\end{vmatrix}},\quad \dots ,\quad W_{n}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{0}&0&\cdots &0\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{2n-1}&a_{2n-2}&a_{2n-3}&\cdots &a_{n}\end{vmatrix}},}
a
k
=
0
{\displaystyle a_{k}=0}
k
>
n
.
{\displaystyle k>n.}
Dla wielomianu
f
(
z
)
=
4
z
3
+
8
z
2
+
10
z
+
12
{\displaystyle f(z)=4z^{3}+8z^{2}+10z+12}
mamy
W
1
=
10
,
W
2
=
|
10
12
4
8
|
=
32
,
{\displaystyle W_{1}=10,\quad W_{2}={\begin{vmatrix}10&12\\4&8\end{vmatrix}}=32,}
W
3
=
|
10
12
0
4
8
10
0
0
4
|
=
128
,
{\displaystyle W_{3}={\begin{vmatrix}10&12&0\\4&8&10\\0&0&4\end{vmatrix}}=128,}
zatem wszystkie pierwiastki tego wielomianu mają części rzeczywiste ujemne.
