Twierdzenie Hyersa-Rassiasa-Gajdy

Twierdzenie Hyersa-Rassiasa-Gajdy – twierdzenie teorii równań funkcyjnych będące (częściową) odpowiedzią na poniższy problem Ulama.

Problem Ulama

Niech $G_{1}$ będzie grupą i niech $G_{2}$ będzie grupą z określoną w niej metryką $d.$ Czy jeżeli dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje $\delta >0$ takie, że jeśli odwzorowanie $h\colon G_{1}\to G_{2},$ spełnia warunek

$d(h(xy),h(x)h(y))<\delta$ dla $x,y\in G_{1},$

to istnieje homomorfizm $H\colon G_{1}\to G_{2}$ spełniający warunek

$d(h(x),H(x))<\varepsilon$ dla $x\in G_{1}$?

Twierdzenie Hyersa-Rassiasa-Gajdy

Niech $E$ będzie rzeczywistą przestrzenią unormowaną oraz $F$ rzeczywistą przestrzenią Banacha. Jeśli $f\colon E\to F$ spełnia warunek

$\bigvee _{p\in [0,\infty )\setminus \{1\}}\bigwedge _{x,y\in E}\|f(x+y)-f(x)-f(y)\|_{F}\leqslant \theta (\|x\|_{E}^{p}+\|y\|_{E}^{p}),$

to istnieje dokładnie jedna addytywna funkcja $c\colon E\to F,$ że

$\|f(x)-c(x)\|_{F}\leqslant {\frac {2\theta }{|2-2^{p}|}}\|x\|_{E}^{p}\;{}$ dla ${}\;x\in E.$

Bibliografia

• Liviu Câdariu, Viorel Radu: Fixed Points and the stability of Jensen’s Functional Equation. J. Ineq. Pure And Appl. Math. 4(1), 2003.brak strony w książce