Twierdzenie Landaua

Twierdzenie Landaua – klasyczne twierdzenie analizy matematycznej charakteryzujące ciągi należące do przestrzeni ℓ_p dla p > 1. Nazwa twierdzenia pochodzi o nazwiska matematyka Edmunda Landaua, który opublikował je w roku 1907.

Twierdzenie

Niech $p>1$ oraz niech $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ będzie takim ciągiem liczbowym, że

$\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}b_{n}|<\infty$

dla każdego ciągu $(b_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{q},$ gdzie

${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.$

Wówczas $(a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{p},$ tj.

$\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}<\infty$.

W przypadku, gdy $p=1$ na to by $(a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{1}$ wystarcza, by

$\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}b_{n}|<\infty$

dla każdego ciągu $(b_{n})_{n=1}^{\infty }$ zbieżnego do 0.

Dowód

Niech $p\geqslant 1.$ Dla każdej liczby naturalnej $n$ wzór

$\langle x_{n}^{*},(\xi _{k})_{k=1}^{\infty }\rangle =\sum _{j=1}^{n}a_{j}\xi _{k}\quad ((\xi _{k})_{k=1}^{\infty }\in \ell _{p})$

definiuje ciągły funkcjonał liniowy na przestrzeni $\ell _{q}$ o normie

$\|x_{n}^{*}\|=\left(\sum _{j=1}^{n}|a_{j}|^{p}\right)^{1/p}$.

Z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że

$\sup _{n\in \mathbb {N} }\|x_{n}^{*}\|=\sup _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{j=1}^{n}|a_{j}|^{p}\right)^{1/p}<\infty$

To kończy dowód, gdyż

$\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}=\sup _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{j=1}^{n}|a_{j}|^{p}\right)^{1/p}$.

Uwagi o dowodzie

Powyższy dowód oparty jest o twierdzenie Banacha-Steinhausa, które wymaga w dowodzie użycia pewnej formy aksjomatu wyboru. Josef Berger i Douglas Bridges wykazali, że istnieje całkowicie konstruktywny dowód twierdzenia Landaua.

Rozszerzenie twierdzenia na funkcje całkowalne

Istnieje analogiczna wersja twierdzenia Landaua dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a. Twierdzenie to mówi, że jeżeli funkcja $f$ jest mierzalna w sensie Lebesgue’a na przedziale $[a,b]$ oraz iloczyn $f\cdot g$ jest całkowalny na $[a,b]$ dla każdej funkcji $g\in L_{q}[a,b],$ to $f\in L_{p}[a,b],$ gdzie $p>1$ oraz ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ bądź $p=1$ oraz $q=\infty$.

Bibliografia

• Andrzej Alexiewicz: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969.brak strony w książce
• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Wyd. 4. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989.brak strony w książce