Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości

Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości – twierdzenie teorii funkcji rzeczywistych, mówiące, że prawie każdy punkt mierzalnego podzbioru przestrzeni euklidesowej jest jego punktem gęstości. „Prawie” oznacza tu, że punkty niebędące punktami gęstości mogą istnieć, ale tworzą zbiór o mierze zero.

W klasycznym przypadku miary Lebesgue’a dowód twierdzenia Lebesgue’a wykorzystuje twierdzenie Vitalego o pokryciu, w przypadku ogólniejszych miar Radona wykorzystuje się stosowne dla nich uogólnienie wspomnianego twierdzenia: twierdzenie Bezikowicza o pokryciu.

Oznaczenia i pojęcia wstępne edytuj

Niech   będzie sumą niepustej rodziny przedziałów N-wymiarowych (z twierdzenia Vitalego wynika, że jest on zbiorem mierzalnym). Niech   będzie funkcją określoną na rodzinie wszystkich kostek N-wymiarowych zawartych w zbiorze   i przyjmującą wartości w zbiorze   oraz punkt   Niech dany będzie również zbiór

 

gdzie   jest pewnym ciągiem kostek zawartych w zbiorze   takich, że   oraz

 

Zbiór ten jest niepustym i domkniętym podzbiorem przestrzeni  

Kres dolny i górny zbioru   oznaczamy odpowiednio

  oraz  

Ponadto gdy są one równe (co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór   jest jednoelementowy), to piszemy wówczas

 

Punkty gęstości edytuj

Punkt   nazywamy punktem gęstości (mierzalnego) podzbioru   wtedy i tylko wtedy, gdy

 

gdzie   oznacza N-wymiarową miarę Lebesgue’a.

Twierdzenie Lebesgue’a edytuj

Jeśli   jest zbiorem mierzalnym w sensie Lebesgue’a, to prawie każdy punkt tego zbioru jest jego punktem gęstości.

Bibliografia edytuj