Twierdzenie Mellina o inwersji

Twierdzenia Mellina o inwersji – twierdzenie mówiące o warunkach, dla których możemy zastosować transformację Mellina lub jej odwrotność, aby uzyskać funkcję, na której zastosowaliśmy je. Twierdzenie nosi nazwisko Hjalmara Mellina.

Treść twierdzenia

Niech $\varphi (s)$ będzie funkcją analityczną w obszarze $a<\Re (s)<b$, która dąży jednostajnie do 0 gdy $\Im (s)\to \pm \infty$ dla dowolnej wartości $\Re (s)$ w tym obszarze i dla której

$\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}|\varphi (s)|ds<\infty$

dla dowolnej liczby $c\in (a,b)$. Wówczas

$f(x)=\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-\infty i}^{c+\infty i}x^{-s}\varphi (s)\;ds$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\varphi (s)=\{{\mathcal {M}}f\}(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\;dx$.