Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych

Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych – twierdzenie geometrii wypukłej mówiące, że każdy zbiór wypukły $C$ w przestrzeni euklidesowej $\mathbb {R} ^{d},$ który jest symetryczny względem zera oraz którego objętość $d$-wymiarowa jest większa niż $2^{d},$ zawiera niezerowy punkt kratowy, tj. taki punkt kratowy, którego przynajmniej jedna ze współrzędnych jest niezerową liczbą całkowitą. Twierdzenie udowodnione przez niemieckiego matematyka, Hermanna Minkowskiego. Rozszerzeniem twierdzenia Minkowskiego jest twierdzenie Blichfeldta.

Przykład zbioru wypukłego (kolor turkusowy) w $\mathbb {R} ^{2},$ który spełnia założenia twierdzenia Minkowskiego.

Wersja twierdzenia dla ogólniejszych krat w przestrzeni euklidesowej

Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych ma ogólniejszą formę dotyczącą bardziej ogólnych podkrat przestrzeni euklidesowej.

Niech $f_{1},\dots ,f_{d}$ będą liniowo niezależnymi wektorami w $\mathbb {R} ^{d}.$ Zbiór

$\Gamma =\mathbb {Z} f_{1}+\ldots +\mathbb {Z} f_{d}$

nazywany jest kratą generowaną przez $f_{1},\dots ,f_{d}.$ Niech $G_{\Gamma }$ będzie równoległościanem generowanym przez $f_{1},\dots ,f_{d}.$ Twierdzenie Minkowskiego można sformułować dla kraty $\Gamma .$

Niech $C$ będzie zbiorem wypukłym w $\mathbb {R} ^{d},$ który jest symetryczny względem 0 oraz niech $\Gamma$ będzie kratą w $\mathbb {R} ^{d}.$ Jeżeli

$\mathrm {vol} _{d}\,C>2^{d}\cdot \mathrm {vol} _{d}\,G_{\Gamma },$

to $C$ zawiera punkt należący do $\Gamma$ różny od 0, tj.

$C\cap (\Gamma \setminus \{0\})\neq \varnothing$.

Uwagi

• W przypadku, gdy zbiór $C$ jest również zwarty, twierdzenie Minkowskiego zachodzi pod słabszym założeniem:

$\mathrm {vol} _{d}\,C\geqslant 2^{d}\cdot \mathrm {vol} _{d}\,G_{\Gamma },$

jednak w ogólności, założenia tego nie można pominąć. Istotnie, niech $C$ będzie kwadratem bez brzegu na płaszczyźnie o wierzchołkach $(1,1),(-1,1),(1,-1),(-1,-1).$ Wówczas pole powierzchni (objętość 2-wymiarowa) zbioru $C$ wynosi $2^{2},$ jednak $C$ nie zawiera punktów kratowych innych niż $(0,0)$.

• Objętość $d$-wymiarowa $\mathrm {vol} _{d}G_{\Gamma }$ wynosi $|\det[f_{1},\dots ,f_{d}]|,$ tj. równa jest wartości bezwzględnej wyznacznika macierzy, której kolumnami są wektory $f_{1},\dots ,f_{d}.$

Dowód

Najpierw wykażemy, że wśród zbiorów postaci

${\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma \quad (\gamma \in \Gamma ),$

pewne dwa mają niepustą część wspólną.

W tym celu przypuśćmy, że jest przeciwnie tj. że są ona parami rozłączne. Wówczas również zbiory

$G_{\Gamma }\cap ({\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma )\quad (\gamma \in \Gamma )$

byłyby parami rozłączne, a więc z σ-addytywności miary zachodziłaby nierówność

$\mathrm {vol} _{d}(G_{\Gamma })\geqslant \sum _{\gamma \in \Gamma }\mathrm {vol} _{d}(G_{\Gamma }\cap ({\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma )).$

Mamy jednak

$(G_{\Gamma }-\gamma )\cap {\tfrac {1}{2}}\cdot C=[G_{\Gamma }\cap ({\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma )]-\gamma ,$

a więc

$\mathrm {vol} _{d}(G_{\Gamma }\cap ({\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma ))=\mathrm {vol} _{d}((G_{\Gamma }-\gamma )\cap {\tfrac {1}{2}}\cdot C).$

Rodzina

$G_{\Gamma }-\gamma \quad (\gamma \in \Gamma )$

jest pokryciem całej przestrzeni $\mathbb {R} ^{d},$ a więc w szczególności zbioru $1/2C.$ Ostatecznie,

$\mathrm {vol} _{d}\,G_{\Gamma }\geqslant \sum _{\gamma \in \Gamma }\mathrm {vol} _{d}((G_{\Gamma }-\gamma )\cap {\tfrac {1}{2}}\cdot C)=\mathrm {vol} _{d}({\tfrac {1}{2}}\cdot C)={\tfrac {1}{2^{d}}}\mathrm {vol} _{d}\,C,$

co prowadzi do sprzeczności z założeniem twierdzenia.

Stąd dla pewnych dwóch różnych punktów $\gamma _{1},\gamma _{2}\in \Gamma$ zbiory

${\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma _{1},\quad {\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma _{2},$

mają niepusty przekrój i niech

$z\in ({\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma _{1})\cap ({\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma _{2}).$

To oznacza, że

$z={\tfrac {1}{2}}x_{1}+\gamma _{1}={\tfrac {1}{2}}x_{2}+\gamma _{2},$

dla pewnych $x_{1},x_{2}\in C.$ Odejmując stronami, dostaniemy

$\gamma _{1}-\gamma _{2}={\tfrac {1}{2}}x_{2}-{\tfrac {1}{2}}x_{1}\in C,$

przy czym relacja należenia wynika z wypukłości i symetrii względem 0 zbioru $C.$ Szukanym punktem kratowym zbioru $C$ jest

$\gamma =\gamma _{1}-\gamma _{2}\in C$.

Dowód w oparciu o twierdzenie Blichfeldta

Objętość $d$-wymarowa zbioru $1/2C$ wynosi $2^{-d}\mathrm {vol} _{d}C,$ a więc z założenia

$\mathrm {vol} _{d}\,({\tfrac {1}{2}}\cdot C)=2^{-d}\mathrm {vol} _{d}\,C>2^{-d}\cdot 2^{d}\cdot \mathrm {vol} _{d}\,G_{\Gamma }=\mathrm {vol} _{d}\,G_{\Gamma },$

a zatem twierdzenie Blichfeldta stosuje się do $1/2C.$ Istnieją zatem takie dwa różne punkty $x,y\in C,$ że

${\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}y\in \Gamma \setminus \{0\}.$

Ponieważ zbiór $C$ jest symetryczny względem 0, element $-y$ należy do $C.$ Z wypukłości zbioru $C$

${\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}y={\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1}{2}}(-y)\in (\Gamma \setminus \{0\})\cap C$.

Bibliografia

• Helmut Koch: Number Theory. Algebraic Numbers and Functions. American Mathematical Society, 2000, seria: Graduate Studies in Mathematics 24. ISBN 978-3-642-58095-6.
• Jürgen Neukirch: Algebraic Number Theory. Springer, 1999, seria: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. ISBN 978-3-662-03983-0.
• Sherman Stein, Sandord Szabó: Algebra and tiling. Homomorphisms in the service of geometry. Washington D.C.: Mathematical Association of America, 1984. ISBN 978-0883850282.
• Juliusz Wójcik, O zastosowaniu geometrii liczb do przedstawień liczb naturalnych przez sumy kwadratów, „Wiadomości Matematyczne”, 10 (1975), s. 19–31.

Literatura dodatkowa

• Winfried Scharlau, Hans Opolka: From Fermat to Minkowski: Lectures on the Theory of Numbers and Its Historical Development. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.