Twierdzenie Noether

Twierdzenie Noether – twierdzenie udowodnione przez Emmy Noether, dotyczące związku zasad zachowania z symetriami ciągłymi. Ma fundamentalne znaczenie w fizyce.

Pierwsza strona artykułu „Invariante Variationsprobleme” (1918), w którym Noether dowiodła swojego twierdzenia.

Symetrie ciągłe, grupy symetrii, generatory, grupy Liego

(1) Symetrie ciągłe to np. obroty, translacje.

(2) Symetrie tworzą grupę.

(3) Każda symetria jest opisana jednym parametrem i jednym generatorem.

(4) Generatory grupy symetrii tworzą grupę, tzw. grupę Liego.

Spośród grup symetrii ważną rolę w fizyce odgrywają:

• grupa obrotów w przestrzeni euklidesowej SO(n)
• grupa translacji w przestrzeni euklidesowej
• grupa transformacji ortogonalnych w przestrzeni euklidesowej O(n)
• grupa Lorentza obrotów w przestrzeni pseudoeuklidesowej
• grupa Poincarégo
• grupa przekształceń unitarnych U(n) oraz SU(n).

Twierdzenie Noether

Każda ciągła symetria praw fizyki, czyli taka, która nie zmienia

• równań opisujących prawa fizyki
• lub działania S, tj. wielkości definiowanej przez mechanikę Lagrange’a

generuje tyle praw zachowania, ile jest

• niezależnych parametrów opisujących daną grupę Liego lub
• generatorów grupy Liego.

Symetrie dyskretne

Symetrie dyskretne mogą generować prawa zachowania (np. symetria inwersji $x\mapsto -x$ generuje zachowanie parzystości $P$), ale nie muszą (np. inwersja w czasie $t\mapsto -t$ nie generuje prawa zachowania).

Przykład: symetrie ciągłe

W mechanice klasycznej obowiązują np. zasady zachowania energii, pędu i momentu pędu. Te trzy zasady można traktować jako konsekwencje odpowiednich symetrii:

(1) Zasada zachowania energii wynika z niezmienniczości działania względem przesunięcia w czasie: jeżeli działanie S opisujące dany ruch układu nie zależy od czasu, to energia układu jest zachowana. Jeżeli natomiast układ absorbuje lub emituje energię, to wówczas działanie jest funkcją czasu – w konsekwencji energia układu zmienia się.

(2) Zasada zachowania pędu odzwierciedla niezmienniczość działania S (oraz równań ruchu opisujących układ) względem przesunięcia układu w przestrzeni. Gdy rozpatrujemy translacje w przestrzeni Minkowskiego, to zasadę zachowania pędu określa się jako zachowanie tensora energii-pędu.

(3) Zasada zachowania momentu pędu wiąże się z niezmienniczością działania S (oraz równań ruchu opisujących układ) względem obrotu układu. Jeśli obroty rozpatrujemy w przestrzeni Minkowskiego, to zasada ta oznacza zachowanie całkowitego momentu pędu, tzn. włącznie ze spinowym (Patrz np. równanie Diraca, operator spinu)

(4) Zasada zachowanie ładunku wynika z niezmienniczości funkcji falowej elektronu względem transformacji cechowania, takiej że:

$\psi ({\vec {x}},t)\mapsto \psi '({\vec {x}},t)=e^{i\alpha }\psi ({\vec {x}},t)$

Transformacje $e^{i\alpha }$ generowane są przez ciągły kąt $\alpha .$ Istnieje więc jeden generator, który tworzy prostą grupę Liego jednowymiarowych macierzy unitarnych $U(1).$ Gdy zmiana kąta w czasie i przestrzeni $\alpha ({\vec {x}},t)$ nie zmienia podstawowych praw fizyki, to lokalna grupa cechowania $U(1)$ wskazuje na istnienie fundamentalnego oddziaływania elektromagnetycznego.

Zobacz też

• całka ruchu
• niezmiennik
• symetria unitarna
• zasada najmniejszego działania