Twierdzenie Picarda

Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy’ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda-Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy’ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innym wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy’ego.

Twierdzenie

Załóżmy, że $\Omega \subseteq {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }$ jest obszarem otwartym na płaszczyźnie oraz funkcja $f\colon \Omega \to {\mathbb {R} }$ jest ciągła na zbiorze $\Omega$ i spełnia warunek Lipschitza ze względu na drugą zmienną. Tak więc, dla pewnej stałej $L$ mamy, że

$|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|\leqslant L|y_{1}-y_{2}|$

ilekroć $(x,y_{1}),(x,y_{2})\in \Omega .$

Niech $(x_{0},y_{0})\in \Omega .$ Wówczas dla pewnego $\delta >0,$ zagadnienie początkowe

$y'=f(x,y)$

$y(x_{0})=y_{0}$

ma dokładnie jedno rozwiązanie $y=\varphi (x)$ określone na przedziale $(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ).$

Uogólnienie na przestrzenie Banacha

Twierdzenie Picarda w naturalny sposób przenosi się na funkcje spełniające lokalny warunek Lipschitza określone na otwartych podzbiorach produktu prostej rzeczywistej i dowolnej przestrzeni Banacha.

Lokalny warunek Lipschitza

Niech $Y$ będzie przestrzenią unormowaną oraz $D\subseteq \mathbb {R} \times Y$ będzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja $f\colon D\to Y$ spełnia lokalny warunek Lipschitza na zbiorze $D$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt $(x_{0},u_{0})\in D$ ma otoczenie, na którym $f$ spełnia warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej.

Twierdzenie Picarda

Niech $Y$ będzie przestrzenią Banacha oraz $D\subseteq \mathbb {R} \times Y$ będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja $f\colon D\to Y$ jest ciągła oraz spełnia lokalny warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej na zbiorze $D,$ to

• każde rozwiązanie równania $u'=f(x,u)$ daje się przedłużyć do rozwiązania globalnego,
• każde rozwiązanie globalne powyższego równania jest funkcją określoną na przedziale otwartym,
• dla każdego punktu $(x_{0},u_{0})\in D$ istnieje dokładnie jedno rozwiązanie globalne spełniające warunek początkowy $u(x_{0})=u_{0}.$

Globalne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań

Korzystając z twierdzenia Picarda można dowieść globalnego twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych, znane również jako twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania wysyconego. Poza faktem istnienia oraz jedyności rozwiązania opisuje ono również jego zachowanie.

Twierdzenie

Niech $J\subseteq {\mathbb {R} }$ będzie odcinkiem otwartym, zaś $\Omega \subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ będą zbiorami otwartymi. Niech $f\colon J\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ będzie ciągłą funkcją spełniającą lokalny jednostajny warunek Lipschitza ze względu na drugą współrzędną, tj. dla dowolnego $(t_{0},x_{0})\in J\times \Omega$ istnieją zbiory otwarte $U\subseteq J$ i $V\subseteq \Omega$ takie, że:

$U\subseteq {\text{cl}}\ (U)\subseteq J$ i $V\subseteq {\text{cl}}\ (V)\subseteq \Omega ,$

$(t_{0},x_{0})\in U\times V,$

$\exists L>0\ \forall t\in U\ \forall x,y\in V\ \|f(t,x)-f(t,y)\|\leqslant L\|x-y\|.$

Wówczas dla każdego $(t_{0},x_{0})\in J\times \Omega$ istnieje dokładnie jedno nierozszerzalne rozwiązanie $u\colon I\to \Omega$ zagadnienia Cauchy’ego:

${\begin{cases}x'(t)=f(t,x(t)),\\x(t_{0})=x_{0}.\end{cases}}$

Ponadto maksymalny odcinek $I=(a,b)$ istnienia rozwiązania jest otwarty i zachodzi następująca alternatywa:

$\inf J=a$   i   $\sup J=b$

lub

jeśli   $a>\inf J,$   to   $\lim _{t\to a}\min \left\{\operatorname {dist} \left(u(t),\partial \Omega \right),\|u(t)\|^{-1}\right\}=0,$

jeśli   $b<\sup J,$   to   $\lim _{t\to b}\min \left\{\operatorname {dist} \left(u(t),\partial \Omega \right),\|u(t)\|^{-1}\right\}=0.$

Zobacz też

• twierdzenie Peana

Bibliografia

• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979, s. 193–196.
• Krzysztof Frączek: Równania różniczkowe. [dostęp 2013-03-30]. (pol.).

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Picard's Existence Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).