Twierdzenie Stolza

Twierdzenie Stolza (zwane też twierdzeniem Stolza-Cesàro) – twierdzenie mówiące o zbieżności pewnych ciągów rzeczywistych. Nazwane imionami matematyków Ottona Stolza i Ernesta Cesàro.

Twierdzenie

Niech $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} },(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ będą ciągami liczb rzeczywistych, przy czym ciąg $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest rosnący i rozbieżny do $\infty .$ Jeśli istnieje skończona lub nieskończona granica

$\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}},$

to

$\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}.$

Twierdzenie to nie daje się odwrócić, tzn. z istnienia granicy $\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}$ nie wynika istnienie granicy $\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}.$

Lemat

Jeżeli $c_{1},\dots ,c_{k},d_{1},\dots ,d_{k}>0,$    to ${\frac {c_{1}+\ldots +c_{k}}{d_{1}+\ldots +d_{k}}}$ jest kombinacją wypukłą liczb ${\frac {c_{1}}{d_{1}}},\dots ,{\frac {c_{k}}{d_{k}}}.$

Dowód

${\frac {c_{1}+\ldots +c_{k}}{d_{1}+\ldots +d_{k}}}={\frac {c_{1}}{d_{1}}}\cdot {\frac {d_{1}}{d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{k}}}+{\frac {c_{2}}{d_{2}}}\cdot {\frac {d_{2}}{d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{k}}}+\ldots +{\frac {c_{k}}{d_{k}}}\cdot {\frac {d_{k}}{d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{k}}}.$

Teza Lematu wynika z tego, że ${\frac {d_{i}}{d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{k}}}\geqslant 0$ oraz $\sum _{i=1}^{k}{\frac {d_{i}}{d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{k}}}=1.$

Dowód twierdzenia

Przypadek I

Załóżmy, że ciąg $\left({\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny do pewnej liczby $g\in \mathbb {R} .$ Niech $\varepsilon >0.$ Wówczas istnieje liczba $N\in \mathbb {N}$ taka, że

$g-\varepsilon <{\frac {b_{i}-b_{i-1}}{a_{i}-a_{i-1}}}<g+\varepsilon$

dla $i>N.$ Ustalmy $n>N.$ Na podstawie lematu dla $c_{i}=b_{i}-b_{i-1}$ i $d_{i}=a_{i}-a_{i-1}$ otrzymujemy, że

${\frac {c_{N+1}+\ldots +c_{n}}{d_{N+1}+\ldots +d_{n}}}={\frac {b_{N+1}-b_{N}+b_{N+2}-b_{N+1}+\ldots +b_{n}-b_{n-1}}{a_{N+1}-a_{N}+a_{N+2}-a_{N+1}+\ldots +a_{n}-a_{n-1}}}={\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}$

jest kombinacją wypukłą liczb ${\frac {c_{i}}{d_{i}}}={\frac {b_{i}-b_{i-1}}{a_{i}-a_{i-1}}}$ dla $i=N+1,N+2,\dots ,n.$ Zatem

$g-\varepsilon <{\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}<g+\varepsilon .$

Stąd, oczywiście, otrzymujemy

$\left|{\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}-g\right|<\varepsilon$

dla $n>N.$ Dalej mamy

${\frac {b_{n}}{a_{n}}}-g={\frac {b_{N}}{a_{n}}}+{\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}}}-g={\frac {b_{N}}{a_{n}}}+{\frac {a_{n}-a_{N}}{a_{n}}}\cdot {\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}-g={\frac {b_{N}}{a_{n}}}-{\frac {a_{N}}{a_{n}}}\cdot g+{\frac {a_{n}-a_{N}}{a_{n}}}\left({\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}-g\right).$

Zatem z faktu, że $0\leqslant {\frac {a_{n}-a_{N}}{a_{n}}}\leqslant 1,$ otrzymujemy

$\left|{\frac {b_{n}}{a_{n}}}-g\right|\leqslant \left|{\frac {b_{N}}{a_{n}}}\right|+\left|{\frac {a_{N}}{a_{n}}}\cdot g\right|+\left|{\frac {b_{n}-b_{N}}{a_{n}-a_{N}}}-g\right|.$

Z uwagi na to, że ${\frac {b_{N}}{a_{n}}}\to 0,$ ${\frac {a_{N}}{a_{n}}}\to 0$ znajdziemy liczbę $N'\geqslant N$ taką, że $\left|{\frac {b_{N}}{a_{n}}}\right|+\left|{\frac {a_{N}}{a_{n}}}\cdot g\right|<\varepsilon$ dla $n>N'\geqslant N.$ Czyli

$\left|{\frac {b_{n}}{a_{n}}}-g\right|<2\varepsilon$

dla każdego $n>N',$ co daje tezę.

Przypadek II

Załóżmy teraz, że ciąg $\left({\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ ma granicę niewłaściwą. Wystarczy rozważyć przypadek, gdy $\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}=\infty .$ Jeśli granica jest równa $-\infty ,$ dowód przebiega analogicznie.

Zauważmy, że $\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}=\infty$ implikuje $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}=0.$ Pokażemy, że $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty .$ Wówczas na mocy udowodnionego Przypadku I otrzymamy, że $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0.$ To wobec założenia $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ oznaczać będzie, że ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}>0$ dla dostatecznie dużych $n,$ a w konsekwencji $\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\infty .$

Z faktu $\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}=\infty$ wynika istnienie liczby $N$ takie, że

${\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}>1$

dla każdego $n\geqslant N.$ Wówczas

$b_{n}-b_{n-1}>a_{n}-a_{n-1}$ dla $n\geqslant N.$

Dodając powyższe nierówności dla $n=N,N+1,N+2,\dots ,N+k,$ otrzymujemy

$b_{N+k}-b_{N-1}=b_{N+k}-b_{N+k-1}+b_{N+k-1}-b_{N+k-2}+\ldots +b_{N}-b_{N-1}>a_{N+k}-a_{N+k-1}+a_{N+k-1}-a_{N+k-2}+\ldots +a_{N}-a_{N-1}=a_{N+k}-a_{N-1}.$

Stąd dla dowolnego $k=1,2,\dots$ prawdziwa jest nierówność:

$b_{N+k}>a_{N+k}-a_{N-1}+b_{N-1}.$

Ponieważ $\lim _{k\to \infty }(a_{N+k}-a_{N-1}+b_{N-1})=\infty ,$ to $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty ,$ co kończy dowód.

Przykłady

Przykład 1. Używając twierdzenie Stolza łatwo pokazać następujące twierdzenie pochodzące od Cauchy’ego.

Twierdzenie Cauchy’ego o zbieżności ciągu średnich arytmetycznych. Jeśli ciąg $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny (do granicy skończonej lub nieskończonej), to ciąg średnich arytmetycznych pierwszych $n$ wyrazów $\left({\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny do tej samej granicy, symbolicznie

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Powyższa równość granic ma związek z sumowalnością metodą Cesàro; dokładniej jeśli szereg jest zbieżny, to jest także sumowalny metodą Cesàro i obie te wartości są równe. Pokazuje to, że sumowalność metodą Cesàro jest uogólnieniem sumowalności metodą klasyczną.

Dowód twierdzenia Cauchy’ego. Zdefiniujmy $a_{n}=n$ i $b_{n}=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}.$ Zauważmy, że $a_{n}-a_{n-1}=1$ oraz $b_{n}-b_{n-1}=x_{n}.$ Zatem $\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n},$ więc na mocy twierdzenia Stolza otrzymujemy, że

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.$

Przykład 2. Implikacja w twierdzeniu Stolza nie daje się odwrócić. Aby to pokazać, rozważmy przykład. Niech $a_{n}=n$ i $b_{2n}=b_{2n-1}=n$ dla $n\in \mathbb {N} .$ Wówczas ${\frac {b_{2n}}{a_{2n}}}={\frac {1}{2}}$ oraz ${\frac {b_{2n-1}}{a_{2n-1}}}={\frac {n}{2n-1}}.$ Zatem $\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}={\frac {1}{2}}.$ Z drugiej strony

${\frac {b_{2n}-b_{2n-1}}{a_{2n}-a_{2n-1}}}=0$ i ${\frac {b_{2n+1}-b_{2n}}{a_{2n+1}-a_{2n}}}=1.$

To pokazuje, że ciąg $\left({\frac {b_{2n}-b_{2n-1}}{a_{2n}-a_{2n-1}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ nie jest zbieżny.

Przykład 3. Ustalmy $k\in \mathbb {N} .$ Niech $a_{n}=n^{k+1},b_{n}=1^{k}+2^{k}+\ldots +n^{k},n\in \mathbb {N} .$ Rozważmy ciąg:

$(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }.$

Zauważmy, że $a_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\infty$ oraz $b_{n}{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\infty .$

Aby obliczyć granicę ciągu $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} },$ skorzystamy z twierdzenia Stolza. Obliczamy:

${\begin{aligned}\left({\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right)&={\frac {n^{k}}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}}}\\&={\frac {n^{k}}{n^{k+1}-(n^{k+1}-(k+1)n^{k}+\ldots )}}\\&={\frac {n^{k}}{(k+1)n^{k}+\ldots }}\ \ {\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\ \ {\frac {1}{k+1}}.\end{aligned}}$

Wobec tego

$\lim _{n\to \infty }c_{n}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}\right)={\frac {1}{k+1}}.$

Zobacz też

• lemat Toepliza
• reguła de l’Hospitala

Bibliografia

• G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. dwunaste. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 55–56. ISBN 83-01-02175-6.