Twierdzenie Strassmana
Twierdzenie Strassmana to wynik z teorii ciał, które mówi, że szeregi potęgowe ze współczynnikami z pierścienia waluacji dla odpowiednio dobranego ciała mają tylko skończenie wiele zer.
Historia edytuj
Dowód podał Reinhold Straßmann w roku 1928.
Twierdzenie edytuj
Niech będzie ciałem z niearchimedesową wartością bezwzględną, zaś jego pierścieniem waluacji. Niech będzie formalnym szeregiem potęgowym o współczynnikach z zbiegających do zera względem | · |, który nie jest tożsamościowo zerem. Wtedy ma tylko skończenie wiele zer w Dokładniej, liczba zer to co najwyżej gdzie to największy indeks spełniający
Dowód edytuj
Niech Będziemy dowodzić przy pomocy indukcji matematycznej względem Jeżeli dla to chcemy wywnioskować nieistnienie zer w Rzeczywiście, gdyby istniało że to
co prowadzi do sprzeczności.
Krok indukcyjny: jeżeli znaleźliśmy już i dla to możemy wybrać dowolne i napisać:
Po zmianie kolejności sumowania mamy
Widać, że dąży do zera, a nawet dla każdego zatem
Skoro dla każdego zachodzi też
to liczbą zer z twierdzenia dla jest co kończy dowód.
Linki zewnętrzne edytuj
- Eric W. Weisstein , Strassman's Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).