Twierdzenie Taubera

Twierdzenie Taubera – twierdzenie analizy zespolonej pozwalające odwrócić przy dodatkowym założeniu twierdzenie Abela. Zostało udowodnione przez słowackiego matematyka Alfreda Taubera.

Sformułowanie

Niech $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ będzie szeregiem potęgowym o promieniu zbieżności 1. Jeśli $na_{n}$ zbiega do zera przy $n$ dążącym do nieskończoności oraz dla pewnego ciągu $(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ o wyrazach spełniających dla pewnego K warunek: ${\frac {|1-z_{n}|}{1-|z_{n}|}}<K$ zachodzi $f(z_{n})\to s,$ to szereg $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ jest zbieżny i $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=s.$

Dowód

Oznaczmy przez $N(z)$ liczbę całkowitą taką, że: $N(z)\leqslant {\frac {1}{1-|z|}}<N(z)+1.$ Przy $z_{n}$ dążących do 1 $N(z_{n})\to \infty .$ Zatem ponieważ $\left|\sum _{n=N(z_{k})}^{N(z_{l})}a_{n}\right|\leqslant \left|\sum _{n=0}^{N(z_{l})}a_{n}-f(z_{l})\right|+|f(z_{l})-f(z_{k})|+\left|f(z_{k})-\sum _{n=0}^{N(z_{k})}a_{n}\right|$ jeśli $f(z_{n})$ spełnia warunek Cauchy’ego, to by wykazać, że $\sum _{n=0}^{N}a_{n}$ też go spełnia wystarczy udowodnić, że $f(z)-\sum _{n=0}^{N(z)}a_{n}$ dąży do zera.

Z założenia dla dostatecznie dużych $N$ dla wszystkich $n>N$ zachodzi $|na_{n}|<\epsilon ,$ więc wówczas:

\left|\sum _{n=N(z)+1}^{\infty }a_{n}z^{n}\right|=\left|\sum _{n=N(z)+1}^{\infty }na_{n}{\frac {z^{n}}{n}}\right|<{\frac {\epsilon }{N(z)+1}}\sum _{n=N(z)+1}^{\infty }|z|^{n}<\epsilon {\frac {\frac {1}{1-|z|}}{N(z)+1}}<\epsilon .

Ponieważ $|1-z^{n}|=\left|(1-z)\left(\sum _{k=0}^{n}z^{k}\right)\right|<n|1-z|,$ zaś z twierdzenia o zbieżności średnich wynika, że ${\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N}|na_{n}|\to 0$ przy $N\to \infty ,$ zachodzi (korzystając z warunku spełnianego przez wyrazy ciągu oraz definicji $N(z)$ ):

\left|\sum _{n=0}^{N(z)}a_{n}(1-z^{n})\right|\leqslant \left|\sum _{n=0}^{N(z)}a_{n}n(1-z)\right|\leqslant K(1-|z|)\sum _{n=0}^{N(z)}|na_{n}|\leqslant K{\frac {1}{N(z)}}\sum _{n=0}^{N(z)}|na_{n}|<\epsilon .

Zatem:

\left|f(z_{n})-\sum _{k=0}^{N(z_{n})}a_{k}\right|\leqslant \left|\sum _{k=N(z_{n})+1}^{\infty }a_{k}z^{k}\right|+\left|-\sum _{k=0}^{N(z_{n})}a_{k}(1-z^{k})\right|<\epsilon +\epsilon .

Uwaga: z twierdzenia Abela wynika, że zawsze można wziąć ciąg należący do odcinka $(0\,1),$ bo jeśli szereg jest zbieżny, to zbieżność $f(z_{n})$ zachodzi dla każdego ciągu spełniającego warunek.

Bibliografia

Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: PWN, 1973.