Twierdzenie o monotoniczności wymiaru

Twierdzenie o monotoniczności wymiaru jest jednym z podstawowych twierdzeń teorii wymiaru. Twierdzenie to występuje w trzech wersjach, odpowiadającym trzem podstawowym topologicznym definicjom wymiaru.

Twierdzenie o monotoniczności małego wymiaru indukcyjnego

Założenia

Niech X będzie przestrzenią regularną.
Niech M będzie podprzestrzenią X.

Teza

ind M ≤ ind X, gdzie ind oznacza mały wymiar indukcyjny.

Dowód

• Jeśli ind X = ∞, prawdziwość twierdzenia wynika z właściwości liczby nieskończonej.
• Dla ind X ≤ ∞, przeprowadzimy dowód indukcyjny ze względu na wymiar przestrzeni X.
  1. Jeśli ind X = -1, wtedy X = ∅, zatem M = ∅ skąd ind M = -1, zatem teza jest spełniona.
  2. Przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla przestrzeni, których wymiar nie przekracza n – 1. Niech teraz X oznacza przestrzeń wymiaru nie większego niż n, a M pewną jej podprzestrzeń. Niech x ∈ M, oraz niech V oznacza otoczenie x w M. Z definicji topologii podprzestrzeni istnieje zbiór V₁ w przestrzeni X taki, że V = M ∩ V₁. ind X ≤ n, zatem z definicji wymiaru istnieje zbiór otwarty U₁ ⊂ X taki, że x ∈ U₁ ⊂ V₁ oraz ind bd U₁ ≤ n – 1. Zbiór U = M ∩ U₁ jest otwarty w M i x ∈ U ⊂ V. Zauważmy, że bd_MU = M ∩ cl_X(M ∩ U₁) ∩ cl_X(M \ U₁) ⊂ bdU₁, zatem na mocy założenia indukcyjnego ind bd_MU ≤ n-1, zatem z warunku (MU2) definicji małego wymiaru indukcyjnego dostajemy ind M ≤ ind X ≤ n co kończy dowód.

Twierdzenie o monotoniczności dużego wymiaru indukcyjnego

Założenia

Niech X będzie przestrzenią mocno dziedzicznie normalną. Niech M będzie podprzestrzenią X.

Teza

Ind M ≤ Ind X, gdzie Ind oznacza duży wymiar indukcyjny.

Twierdzenie o monotoniczności wymiaru pokryciowego

Założenia

Niech X będzie przestrzenią mocno dziedzicznie normalną. Niech M będzie podprzestrzenią X.

Teza

dim M ≤ dim X, gdzie dim oznacza wymiar pokryciowy.

Literatura

• Ryszard Engelking "Teoria wymiaru" PWN 1977