Twierdzenie o oddzielaniu

Twierdzenia o oddzielaniu – twierdzenia w analizie funkcjonalnej mówiące o oddzielaniu podzbiorów przestrzeni liniowo-topologicznych poprzez ciągłe funkcjonały liniowe.

Twierdzenie

Niech $X$ będzie rzeczywistą bądź zespoloną przestrzenią liniowo-topologiczną oraz niech $A,B\subseteq X$ będą wypukłe, niepuste i rozłączne.

• Jeżeli $A$ jest zbiorem otwartym, to istnieją $x^{\star }\in X^{\star }$ oraz liczba rzeczywista $\alpha$ takie, że

$\operatorname {Re} \,x^{\star }x<\alpha \leqslant \operatorname {Re} \,x^{\star }y$ dla wszystkich $x\in A$ oraz $y\in B.$

• Jeżeli $X$ jest przestrzenią lokalnie wypukłą, $A$ jest zbiorem zwartym oraz $B$ jest zbiorem domkniętym, to istnieją $x^{\star }\in X^{\star }$ oraz liczby rzeczywiste $\alpha ,\beta$ takie, że

$\operatorname {Re} \,x^{\star }x<\alpha <\beta \leqslant \operatorname {Re} \,x^{\star }y$ dla wszystkich $x\in A$ oraz $y\in B.$

Prostym wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że jeżeli $X$ jest lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną, to dla każdego $x\in X\setminus \{0\}$ istnieje $x^{\star }\in X^{\star }$ taki, że $x^{\star }x\neq 0.$

Inne twierdzenia o oddzielaniu

Niech $X$ będzie przestrzenią lokalnie wypukłą, a $Y$ jej podprzestrzenią.

• Dla każdego $x\in X\setminus \operatorname {cl} Y$ istnieje $x^{\star }\in X^{\star }$ taki, że $x^{\star }x=1$ oraz $Y\subseteq (x^{\star })^{-1}(\{0\}).$

• $\bigwedge _{x\in X}\left(\bigwedge _{x^{\star }\in X^{\star }}(x^{\star }|_{Y}=0\Rightarrow x^{\star }x=0)\Rightarrow x\in \operatorname {cl} Y\right)$

• $\bigwedge _{y^{\star }\in Y^{\star }}\bigvee _{x^{\star }\in X^{\star }}x^{\star }|_{Y}=y^{\star }$

• Jeżeli $F\subseteq X$ jest podzbiorem domkniętym, wypukłym, zbalansowanym i niepustym, to dla każdego $x_{0}\in X\setminus F$ istnieje $x^{\star }\in X^{\star }$ takie, że $x^{\star }x>1$ oraz $|x^{\star }x|\leqslant 1$ dla każdego $x\in F.$