Twierdzenie o wartości średniej (rachunek całkowy)

Twierdzenie o wartości średniej – każde z kilku poniższych twierdzeń wiążących wartość całki oznaczonej funkcji całkowalnej (w sensie Riemanna lub Lebesgue’a) na danym zbiorze z pewną wielkością, która spełnia rolę „wartości średniej” funkcji, bądź należy do danego zbioru.

Wszystkie rozpatrywane funkcje są funkcjami rzeczywistymi określonymi na przedziale $[a,\ b].$

Pierwsze twierdzenie

Jeżeli funkcja $f$ jest ograniczona: $m\leqslant f(x)\leqslant M,$ i całkowalna, to istnieje taka liczba $m\leqslant \mu \leqslant M,$ że:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\ dx=\mu (b-a).$

W przypadku gdy funkcja $f$ jest ciągła, tezę twierdzenia można wzmocnić następująco:

istnieje punkt $c\in [a,\ b]$ taki, że

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\ dx=f(c)(b-a).$

Intuicyjnie jest jasne, że ze względu na całkę, właśnie $f(c)$ jest „średnią” wartością funkcji $f$ w przedziale $[a,\ b].$

Uogólnienie

Ta wersja dotyczy dwóch funkcji całkowalnych, jeżeli przyjmiemy w nim $g\equiv 1,$ to otrzymamy powyższą wersję.

Jeżeli funkcje $f,g$ są całkowalne, $f$ jest ograniczona: $m\leqslant f(x)\leqslant M,$ a $g$ zachowuje znak w tym przedziale, to

$\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\ dx=\mu \int \limits _{a}^{b}~g(x)\ dx.$

Jak poprzednio, w sytuacji, gdy $f$ jest funkcją ciągłą, w tezie twierdzenia można postulować istnienie takiego punktu $c\in [a,\ b],$ że:

$\int \limits _{a}^{b}~f(x)g(x)\ dx=f(c)\int \limits _{a}^{b}~g(x)\ dx.$

Drugie twierdzenie

Twierdzenie to również dotyczy całki z iloczynu dwóch funkcji.

Jeżeli funkcja $f$ jest monotonicznie malejąca i nieujemna, a $g$ całkowalna, to istnieje taki punkt $c\in [a,\ b],$ że:

$\int \limits _{a}^{b}~f(x)g(x)\ dx=f(a)\int \limits _{a}^{c}~g(x)\ dx+f(b)\int \limits _{c}^{b}~g(x)\ dx.$

Najmocniejsza wersja tego twierdzenia pochodzi od japońskiego matematyka Hiroshiego Okamury (1947) i ma następującą postać:

Jeżeli funkcja $f$ jest monotonicznie malejąca, a $g$ całkowalna, to istnieje taki punkt $c\in [a,\ b],$ że:

$\int \limits _{a}^{b}~f(x)g(x)\,dx=f(a_{+})\int \limits _{a}^{c}~g(x)\ dx+f(b_{-})\int \limits _{c}^{b}~g(x)\ dx.$

Przez $f(x_{+})$ i $f(x_{-})$ rozumiemy tu odpowiednie granice jednostronne funkcji $f.$

Zobacz też

• średnia całkowa
• twierdzenie Greena
• twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa
• twierdzenie Stokesa

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. II, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.