Układ środka masy

Układ środka masy (pewnego układu ciał) – inercjalny układ odniesienia, w którym środek masy układu ciał pozostaje w spoczynku. W tym układzie odniesienia pęd całkowity układu ciał (wektorowa suma pędów wszystkich elementów układu) wynosi zero.

$\sum _{i}^{n}{\vec {p}}_{i}=0$

Układ ten odgrywa istotną rolę w analizie zderzeń sprężystych ciał, ponieważ w takim układzie najłatwiej jest obliczyć prędkości końcowe ciał. Wygodnie jest stosować go również do analizy kreacji cząstek elementarnych.

Relacja z innymi układami inercjalnymi

Względem dowolnego inercjalnego układu odniesienia położenie środka masy n ciał można wyznaczyć ze wzoru

$r={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}{r_{k}m_{k}}}{\sum \limits _{k=1}^{n}{m_{k}}}}={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}{r_{k}m_{k}}}{M}}$

gdzie

r – wektor położenia środka masy układu ciał względem innego układu odniesienia,

r_k – wektor położenia k-tego ciała względem tego układu,

m – masa k-tego ciała,

M – masa układu ciał.

Po obliczeniu pochodnej można otrzymać

$v={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}{v_{k}m_{k}}}{M}}={\frac {\sum \limits _{k=1}^{n}{p_{k}}}{M}}$

gdzie

v i v_k – prędkości, odpowiednio, całego układu i poszczególnych jego elementów,

p_k – pędy poszczególnych elementów układu ciał.

Energia zderzenia w układzie środka masy

W przypadku zderzających się ciał całkowita energia kinetyczna zderzenia osiąga w układzie środka masy najmniejszą wartość. Energię tę nazywamy energią efektywną zderzenia. Różnica pomiędzy energią efektywną a energią kinetyczną w układzie, w którym jedna z cząstek spoczywa jest szczególnie duża dla cząstek relatywistycznych. Na przykład dla oddziaływania proton-proton, gdy jeden z protonów spoczywa a drugi ma energię 200 GeV, efektywna energia oddziaływania wynosi tylko 10 GeV. Dlatego w eksperymentach akceleratorowych bardzo efektywną metodą jest tzw. metoda wiązek przeciwbieżnych. Wówczas układ laboratoryjny jest układem środka masy i suma energii obu wiązek jest energią efektywną.

Kąt rozproszenia

Jeżeli cząstka o masie m₁ rozpraszana jest na nieruchomej cząstce o masie m₂ i m₁ > m₂, to cząstka może ulec rozproszeniu o kąt α spełniający warunek –π/2 < α < π/2. Natomiast w układzie środka masy kąt rozproszenia β może być dowolny. Oba kąty wiąże relacja

$tg\alpha ={\frac {\sin \beta }{{\frac {m_{1}}{m_{2}}}+\cos \beta }}$

Zobacz też

• środek masy

Bibliografia

• Ilustrowana encyklopedia dla wszystkich. Fizyka, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1991, wyd.3, ISBN 83-204-1192-0