Własność skończonych przekrojów

Własność skończonych przekrojów – własność rodzin zbiorów rozważana i używana głównie w topologii i teorii mnogości.

Definicja formalna

Mówimy, że rodzina zbiorów ${\mathcal {A}}$ ma własność skończonych przekrojów jeśli przekrój dowolnej skończonej podrodziny jest niepusty. Innymi słowy, ${\mathcal {A}}$ ma własność skończonych przekrojów jeśli dla dowolnych $A_{0},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {A}},$ $n\in \mathbb {N} ,$ mamy, że $A_{0}\cap \ldots \cap A_{n}\neq \emptyset .$

Często zamiast mówić, że ${\mathcal {A}}$ ma własność skończonych przekrojów stwierdza się, że ${\mathcal {A}}$ ma fip, używając skrótu od ang. finite intersection property.

Przykłady, własności, zastosowanie

• Następujące rodziny zbiorów mają własność skończonych przekrojów:

(i) ${\mathcal {A}}=\{A_{0},A_{1},A_{2},\dots \}$ gdzie $A_{0}\supseteq A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq \ldots$ są zbiorami niepustymi,

(ii) ${\mathcal {B}}=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \},$

(iii) rodzina tych podzbiorów zbioru liczb naturalnych, które mają dopełnienie skończone,

(iv) rodzina tych borelowskich podzbiorów odcinka $[0,1]$ które mają miarę Lebesgue’a 1.

• Jeśli ${\mathcal {A}}$ jest rodziną podzbiorów zbioru $X$ z własnością skończonych przekrojów, to zbiór

${\mathcal {F}}={\big \{}A\subseteq X:A_{0}\cap \ldots \cap A_{n}\subseteq A$ dla pewnych $A_{0},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {A}},$ $n\in \mathbb {N} \}$

jest filtrem podzbiorów $X.$ Ponadto, istnieje filtr maksymalny (ultrafiltr) podzbiorów $X$ zawierający ${\mathcal {A}}.$ (To ostatnie stwierdzenie wymaga pewnej formy AC).

• Przypuśćmy, że $(X,\tau )$ jest przestrzenią topologiczną. Wówczas

(a) $X$ jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda rodzina domkniętych podzbiorów $X$ która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój,

(b) $X$ jest przeliczalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każda przeliczalna rodzina domkniętych podzbiorów $X$ która ma własność skończonych przekrojów ma też niepusty przekrój.

Zobacz też

• filtr
• przestrzeń przeliczalnie zwarta
• przestrzeń zwarta