Wahadło stożkowe

Wahadło stożkowe – punktowa masa zawieszona na nierozciągliwej nici zamocowanej w punkcie znajdująca się w polu sił grawitacyjnych. Masa obraca się wokół osi równowagi wahadła, co odpowiada temu, że nić tworzy z osią pionową cały czas taki sam kąt.

Wahadło stożkowe

Wahadło jest szczególnym przypadkiem wahadła sferycznego.

Analiza wahadła

Na nieważkiej nici o długości $L$ zawieszone jest ciało o masie $m,$ zataczając poziomy okrąg ze stałą prędkością $\upsilon .$ Nić tworzy cały czas z pionem kąt $\theta$.

Na ciało działają dwie siły: naciąg nici $(N)$ i siła ciężkości $(mg).$

• Składowa pionowa siły $N$ równoważy przyciąganie grawitacyjne (siłę ciężkości)

  $N\cos \theta =mg.$

• Składowa pozioma siły $N$ jest siłą dośrodkową w ruchu po okręgu

  $N\sin \theta ={\frac {mv^{2}}{r}}$

gdzie $r=L\sin \theta .$

Z powyższych równań wynika:

${\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {v^{2}}{r\sin \theta }}.$

Ponieważ $v=\omega r$ (związek między prędkością liniową a kątową), przy czym $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ to można powyższe zapisać jako

${\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {({\frac {2\pi r}{T}})^{2}}{r\sin \theta }},$

${\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {(2\pi )^{2}r}{T^{2}\sin \theta }},$

stąd

$T=2\pi {\sqrt {{\frac {r}{\sin \theta }}{\frac {\cos \theta }{g}}}}=2\pi {\sqrt {\frac {L\cos \theta }{g}}}$

oraz

$\omega ={\sqrt {\frac {g}{L\cos \theta }}}.$

Dla małych kątów $\theta ,$ $\cos(\theta )\approx 1,$ wówczas okres ruchu wahadła $T$ wahadła stożkowego nie zależy od kąta wahadła i jest taki sam jak dla wahadła matematycznego o tej samej długości.