Warunek Lindeberga

Definicja

Powiemy, że schemat serii $(X_{n,k_{n}})$ spełnia warunek Lindeberga, jeśli dla każdego $\epsilon >0$ zachodzi $L_{n}(\epsilon )={\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{k=1}^{k_{n}}E((X_{n,k}-EX_{n,k})^{2}\mathbf {1} _{\{|X_{n,k}-EX_{n,k}|>\epsilon s_{n}\}}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0,$ gdzie $s_{n}^{2}=\sum _{k=1}^{k_{n}}D^{2}X_{n,k}.$

Konsekwencje

Jeśli spełniony jest warunek Lindeberga, to $(\max _{1\leqslant k\leqslant k_{n}}\sigma _{n,k}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}0,$ gdzie $\sigma _{n,k}={\sqrt {\frac {D^{2}X_{n,k}}{s_{n}^{2}}}}.$

Dowód

Dowodzimy przez zaprzeczenie. Załóżmy, że $\exists \delta _{0}>0$ taka, że $\limsup _{n\to \infty }(\max _{1\leqslant k\leqslant k_{n}}\sigma _{n,k})=\delta _{0}.$

Wówczas istnieje ciąg $(a_{n})$ liczb naturalnych spełniający:

Dla $\delta ={\frac {\delta _{0}}{2}}>0\;\forall n\in \mathbf {N} \;\exists k\;:{\Bigg (}\sigma _{a_{n},k}\geqslant \delta \iff {\sqrt {\frac {D^{2}X_{a_{n},k}}{s_{a_{n}}^{2}}}}\geqslant \delta \iff D^{2}X_{a_{n},k}\geqslant \delta ^{2}s_{a_{n}}^{2}{\Bigg )}.$

Ostatnią nierówność możemy zapisać jako:

$D^{2}X_{a_{n},k}=E(X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k})^{2}=E(X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k})^{2}\mathbf {1} _{\{|X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k}|>\epsilon s_{a_{n}}\}}+E(X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k})^{2}\mathbf {1} _{\{|X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k}|\leqslant \epsilon s_{a_{n}}\}}\geqslant \delta ^{2}s_{a_{n}}^{2}$ dla każdego $\epsilon >0.$

Teraz z ostatniej nierówności otrzymujemy:

$E(X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k})^{2}\mathbf {1} _{\{|X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k}|>\epsilon s_{a_{n}}\}}\geqslant \delta ^{2}s_{a_{n}}^{2}-E(X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k})^{2}\mathbf {1} _{\{|X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k}|\leqslant \epsilon s_{a_{n}}\}}\geqslant \delta ^{2}s_{a_{n}}^{2}-\epsilon ^{2}s_{a_{n}}^{2}.$

Zatem:

$L_{a_{n}}(\epsilon )\geqslant {\frac {1}{s_{a_{n}}^{2}}}E(X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k})^{2}\mathbf {1} _{\{|X_{a_{n},k}-EX_{a_{n},k}|>\epsilon s_{a_{n}}\}}\geqslant \delta ^{2}-\epsilon ^{2}.$ Ale dla $\epsilon <\delta$ ostatnia wartość jest zawsze dodatnia, niezależnie od n, co przeczy warunkowi Lindeberga.