Wzór Panjera

Wzór Panjera – wzór rekurencyjny wprowadzony w 1981 roku przez Harry’ego Panjera (a następnie uogólniony przez Bjørna Sundta i Williama S. Jewella), służący do dokładnego wyznaczania rozkładu łącznej wartości szkód w modelu ryzyka łącznego (zakładającego iż łączna wartość szkód jest sumą szkód będących parami niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa oraz których liczba jest zmienną losową niezależną względem każdej ze szkód).

Wzór Panjera

Oznaczenia

• $\mathbb {P} (A)$ – prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $A$
• $f_{j}:=\mathbb {P} (Y=j)\quad {}$ dla ${}\;j=0,1,2\dots$
• $p_{n}:=\mathbb {P} (N=n)\quad {}$ dla ${}\;n=0,1,2\dots$
• $X_{n}:=Y_{1}+\ldots +Y_{n}$ dla nielosowej liczby składników $n.$

Założenia

• $X=0$ w przypadku, gdy $N=0,$
• $Y_{1},Y_{2},\dots$ są zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa
• $Y_{1},Y_{2},\dots$ są parami niezależne
• $Y_{1},Y_{2},\dots$ są niezależne od $N.$
• $X=Y_{1}+\ldots +Y_{N}$
• $p_{n}=p_{n-1}{\big (}a+{\frac {b}{n}}{\big )}$ dla dostatecznie dużych $n,$ tzn. dla $n>n_{0},$ gdzie $n_{0}$ jest pewną liczbą naturalną.

Wzór rekurencyjny

1. $\mathbb {P} (X=0)={\begin{cases}p_{0}&f_{0}=0\\\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(f_{0})^{n}&f_{0}>0\end{cases}}$
2. $\mathbb {P} (X=k)={\frac {1}{1-af_{0}}}{\Bigg (}\sum _{j=1}^{k}{\Big (}a+b{\frac {j}{k}}{\Big )}f_{j}\mathbb {P} (X=k-j)+\sum _{n=1}^{m}{\bigg (}p_{n}-{\Big (}a+{\frac {b}{n}}{\Big )}p_{n-1}{\bigg )}\cdot \mathbb {P} (X_{n}=k){\Bigg )}$

Klasy rozkładów spełniających założenia wzoru

Klasa rozkładów liczby szkód, spełniających założenia wzoru Panjera z $m=0$ nazywana jest klasą Panjera, a z $m>0$ klasą Sundta-Jewella. Zgodnie z założeniami pierwszych $m$ prawdopodobieństw w rozkładach spełniających założenia wzoru Panjera może być dowolne. Rozkłady, dla których $m=0,$ to (w nawiasie podano zakresy wartości występujących w założeniu parametrów $a$ i $b$):

• rozkład Poissona (gdy $a=0,$ $b>0$)
• rozkład dwumianowy (gdy $a<0,$ $b=-a(l+1),$ $l=1,2,3,\dots$)
• rozkład ujemny dwumianowy (gdy $a\in (0,1),$ $b>-a$)
• rozkład zdegenerowany $p_{0}=1$ (gdy $b=-a$)

Zastosowania

Wzór Panjera określa rozkład prawdopodobieństwa w przypadku dyskretnym. Możliwe jest jednak zastosowanie wzoru w przypadku ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa pojedynczej szkody. Niezbędna jest jednak wówczas dyskretyzacja takiego rozkładu.

Bibliografia

• Newton L. Bowers, Hans U. Gerber, J.C. Hickman, D.A. Jones, C.J. Nesbit: Actuarial mathematics. Itasca, Ill.: Society of Actuaries, 1986. ISBN 0-938959-10-7. (ang.).brak strony w książce
• Wojciech Otto: Ubezpieczenia majątkowe. Wyd. 1. Cz. I: Teoria ryzyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2004, seria: Matematyka w ubezpieczeniach. ISBN 83-204-2887-4. (pol.).brak strony w książce