Złota spirala

Złota spirala – szczególny przypadek spirali logarytmicznej, w której współczynnik $b$ jest stałą zależną od $\varphi$ (gdzie $\varphi$ jest „złotą liczbą”). Cechą charakterystyczną złotej spirali jest to, że co 90° jej szerokość zwiększa się (lub zmniejsza) dokładnie $\varphi$ razy.

Przybliżona oraz dokładna złota spirala: zielona spirala jest zbudowana z ćwiartek okręgów, natomiast czerwona spirala jest złotą spiralą. Pokrywające się fragmenty zaznaczono na żółto. Stosunki długości boków kolejnych kwadratów są równe φ.

Spirala Fibonacciego, zbudowana z ćwiartek okręgów, których promienie są kolejnymi liczbami Fibonacciego. Jest przybliżeniem złotej spirali, ale nie jest złotą spiralą

Wzór

Ogólne wzory na spiralę logarytmiczną we współrzędnych biegunowych:

$r=ae^{b\theta }$

oraz

$\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),$

(gdzie $e$ – podstawa logarytmu naturalnego) mają również zastosowanie w przypadku złotej spirali. W tym przypadku $\theta$ jest kątem prostym, $b$ jest stałą rzeczywistą, zaś $r/a=\varphi$ (gdzie $\varphi$ jest „złotą liczbą”). Stąd mamy wzór:

$e^{b\theta }=\varphi .$

Wartość $b$ wyraża się wzorem:

$b={\frac {\ln {\varphi }}{\theta }}.$

Wartość $b$ może być dodatnia lub ujemna, w zależności od tego, w którą stronę skierowany jest kąt prosty $\theta .$ Wartość bezwzględna z $b$ wynosi:

$|b|={\frac {\ln \varphi }{90^{\circ }}}={\frac {0{,}0053468}{1^{\circ }}}$ dla $\theta$ wyrażonego w stopniach;

$|b|={\frac {\ln \varphi }{\pi /2}}=0{,}306349$ dla $\theta$ wyrażonego w radianach.

Przybliżenia złotej spirali

Znanych jest wiele spiral będących przybliżeniami złotej spirali i często mylonych z nią. Przykładem może być spirala Fibonacciego, która nie jest spiralą logarytmiczną.

Zobacz też

• ciąg Fibonacciego
• spirala
• spirala logarytmiczna
• złoty podział

Bibliografia

• Fractals in Music: introductory mathematics for musical analysis. High Art Press, 1999, s. 14–16. ISBN 0-9671727-6-4. (ang.).
• Divine Proportion: Φ Phi in Art, Nature, and Science. Sterling Publishing Co, 2005, s. 127–129. ISBN 1-4027-3522-7. (ang.).

Linki zewnętrzne

• Golden Spiral demonstracja autorstwa Yu-Sung Chang, The Wolfram Demonstrations Project