Zagadnienie poprawnie postawione

Zagadnienie poprawnie postawione (dobrze postawione) – zagadnienie fizyczne lub matematyczne opisane przez układ równań różniczkowych cząstkowych i zachowujące się dobrze w zastosowaniach praktycznych.

Def. Zagadnieniem poprawnie postawionym nazywamy zagadnienie:

$F(x,u,Du,\dots ,D^{m}u)=0,u:{\mathcal {D}}\to \mathbb {R} ^{n}$

wraz z warunkami brzegowymi

$Au=G,$

które spełnia następujące warunki:

1. Rozwiązanie równania istnieje w odpowiedniej wymaganej klasie regularności, np. typowo $C^{2}(int({\mathcal {D}}))\cap {}C^{0}(\partial {\mathcal {D}}).$
2. W tej klasie rozwiązanie jest jednoznaczne.
3. W tej klasie rozwiązanie jest stabilne, tj. jeśli mamy takie same zagadnienia z różnymi warunkami brzegowymi $Au_{0}=G_{0},$ $Au_{1}=G_{1}$ oraz warunki brzegowe są „bliskie” $\|G_{0}-G_{1}\|<\epsilon ,$ to rozwiązania równań są również „bliskie” $\|u_{0}-u_{1}\|<\epsilon .$ Inny słowy rozwiązanie jest ciągłe względem warunków początkowych.

Zagadnienia dobrze postawione są ważne z praktycznego punktu widzenia: ich rozwiązania można dobrze obliczać.

Zobacz też

• równanie falowe
• równanie przewodnictwa cieplnego
• równanie różniczkowe
• równanie sztywne