Zasada dualności

Zasada dualności (lub dawniej zasada dwoistości) – prawo geometrii rzutowej, mówiące, że dowolne prawdziwe twierdzenie na płaszczyźnie rzutowej zawierające tylko sformułowania:

• punkt leży na prostej,
• proste przecinają się w punkcie,
• punkt należy do stożkowej,
• prosta jest styczna do stożkowej,

jest równoważne twierdzeniu które można otrzymać, jeśli zamieni się w nim pojęcia "prosta" na "punkt" i odwrotnie (i odpowiednio "przechodzi przez" na "leży na") oraz zwrot "punkt należy do stożkowej" na "prosta jest styczna do stożkowej" i odwrotnie.

Przykłady

Współliniowość i współpękowość punktów

Do każdego twierdzenia mówiącego o współliniowości danych punktów rzutowych istnieje dualne twierdzenie o współpękowości odpowiadających im prostych dualnych.

Twierdzenie Brianchona i Pascala

Przykładem twierdzeń dualnych są twierdzenie Brianchona i twierdzenie Pascala.

Twierdzenie Pascala	Twierdzenie Brianchona
Jeśli:
$p_{1},\dots ,p_{6}$ są różnymi punktami stożkowej	$\ell _{1},\dots ,\ell _{6}$ są różnymi stycznymi do stożkowej
to trzy
punkty przecięcia	proste łączące
odpowiednio
prostej $p_{1}p_{2}$ z prostą $p_{4}p_{5}$	punkt przecięcia $\ell _{1}\ell _{2}$ z punktem przecięcia $\ell _{4}\ell _{5}$
prostej $p_{2}p_{3}$ z prostą $p_{5}p_{6}$	punkt przecięcia $\ell _{2}\ell _{3}$ z punktem przecięcia $\ell _{5}\ell _{6}$
prostej $p_{3}p_{4}$ z prostą $p_{6}p_{1}$	punkt przecięcia $\ell _{3}\ell _{4}$ z punktem przecięcia $\ell _{6}\ell _{1}$
leżą na jednej prostej.	przecinają się w jednym punkcie.

Twierdzenie Pappusa i Desargues’a

Przykładem twierdzeń dualnych są twierdzenie Pappusa i twierdzenie Desargues’a.

Twierdzenie Sylvestera-Gallai

Przykładem twierdzeń dualnych są twierdzenie Sylvestera-Gallai oraz dualne twierdzenie Sylvestera-Gallai.

Twierdzenie Sylvestera-Gallai	Dualne twierdzenie Sylvestera-Gallai
Każda konfiguracja
prostych,	punktów,
która nie jest
pękiem,	współliniowa,
generuje co najmniej jeden (jedną)
punkt zwyczajny.	prostą zwyczajną.

Bibliografia

• K. Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, Warszawa, 1977.
• L. Dubikajtis, Wiadomości z geometrii rzutowej, Warszawa, 1972.