Zbiór stacjonarny

Zbiory domknięte nieograniczone (club) – rodzina podzbiorów liczby kardynalnej (traktowanej jako liczba porządkowa) zawierająca zbiory w pewnym sensie duże.

Nazwa club jest skrótem angielskiego terminu closed and unbounded. Niektórzy autorzy używają też nazwy c.u.b. (taka nazwa używana jest m.in. w monografii Kunena).

Definicje formalne

Niech $\kappa$ będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną (którą będziemy traktować jako początkową liczbę porządkową).

• Powiemy, że zbiór $C\subseteq \kappa$ jest domknięty, jeśli jest on domknięty w topologii porządkowej na $\kappa ,$ który to warunek jest równoważny stwierdzeniu, że dla każdej granicznej liczby $\alpha <\kappa$ mamy

$(\forall \beta <\alpha )(\exists \gamma \in C)(\beta <\gamma <\alpha )\quad \Rightarrow \ \alpha \in C.$

• Zbiór $C\subseteq \kappa$ jest nieograniczony w $\kappa ,$ jeśli $(\forall \alpha <\kappa )(\exists \beta \in C)(\alpha <\beta ).$
• Powiemy, że zbiór $C\subseteq \kappa$ jest clubem w $\kappa ,$ jeśli jest on zarówno domknięty, jak i nieograniczony.
• Zbiór $S\subseteq \kappa$ jest stacjonarnym podzbiorem $\kappa ,$ jeśli $C\cap S\neq \emptyset$ dla każdego domkniętego nieograniczonego (tzn. cluba) zbioru $C\subseteq \kappa .$
• Zbiór $S\subseteq \kappa$ jest niestacjonarnym podzbiorem $\kappa ,$ jeśli $S$ nie jest stacjonarny, czyli gdy $C\cap S=\emptyset$ dla pewnego cluba $C\subseteq \kappa .$

Własności i przykłady

Niech $\kappa$ będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną.

• Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych mniejszych niż $\kappa$ jest clubem, podobnie jak i zbiór wszystkich granic liczb granicznych.
• Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych $\alpha <\kappa$ o przeliczalnej współkońcowości jest stacjonarnym podzbiorem $\kappa .$
• Dla każdej funkcji$g\colon \kappa \to \kappa ,$ zbiór $\{\delta <\kappa :(\forall \alpha <\delta )(g(\alpha )<\delta )\}$ jest clubem w $\kappa .$
• Jeśli ${\mathcal {C}}$ jest rodziną clubów na $\kappa ,$ $|{\mathcal {C}}|<\kappa ,$ to przekrój $\bigcap {\mathcal {C}}$ też jest clubem.
• Z powyższej obserwacji wynika, że rodzina

$\{A\subseteq \kappa :C\subseteq A$ dla pewnego cluba $C\subseteq \kappa \}$

jest $\kappa$-zupełnym filtrem podzbiorów $\kappa .$

Rodzina ${\mathcal {NS}}_{\kappa }$ wszystkich niestacjonarnych podzbiorów $\kappa$ tworzy $\kappa$-zupełny ideał podzbiorów $\kappa .$

• Lemat Fodora mówi, że jeśli $S$ jest stacjonarnym podzbiorem $\kappa$ oraz $f\colon S\to \kappa$ jest funkcją taką, że $(\forall \alpha \in S\setminus \{0\})(f(\alpha )<\alpha ),$ to funkcja $f$ jest stała na pewnym stacjonarnym podzbiorze zbioru $S.$ (Odwrotnie, jeśli $S$ jest niestacjonarnym podzbiorem $\kappa ,$ to istnieje funkcja $f\colon S\to \kappa$ taka, że $(\forall \alpha \in S\setminus \{0\})(f(\alpha )<\alpha ),$ która nie jest stała na żadnym nieograniczonym podzbiorze zbioru $S$).

Zobacz też

• diament Jensena
• miara Dieudonnégo