Jazbec, który urodził się w rodzinie chorwackich emigrantów, wraz z rodziną wrócił do Chorwacji w roku 1916, gdzie zamieszkał w Zagrzebiu. Od roku 1928 występował w młodzieżowym zespole klubu HŠK Concordia Zagrzeb, a jego pierwszy występ w lidze jugosłowiańskiej odbył się w sezonie 1932/1933. Początkowo występował na pozycji stopera, jednak potem został przesunięty na środek obrony. Pomimo tego, że występował na pozycji, na której piłkarze nie odznaczają się raczej polotem i finezją, Jazbec pokazywał bardzo solidne umiejętności techniczne, siłę, wytrzymałość, szybkość oraz dobre uderzenie na bramkę przeciwnika. Wielu porównywało go do słynnego poprzednika na tej pozycji w reprezentacji, Danko Premerla. Jazbec występował w zespole Concordii, aż do zakończenia swojej kariery sportowej w roku 1943.
Jazbec występował 13 razy w reprezentacji miasta Zagrzebia, 1 raz w reprezentacji "B" (1934) przeciwko Austrii "B" i 10 razy w reprezentacji Jugosławii. W reprezentacji zadebiutował 18 marca 1934 w Sofii w spotkaniu przeciwko Bułgarii, wygranym przez Jugosławię 2:1. W tym spotkaniu występował na pozycji lewego obrońcy, z konieczności zastępując podstawowego gracza na tej pozycji, Anđelko Marušicia. Ostatni raz w reprezentacji wystąpił na dzień przed swoimi 27 urodzinami, 6 sierpnia1938 w Belgradzie przeciwko Rumunii zakończonym remisem 1:1.
Reprezentacja Niezależnego Państwa Chorwackiegoedytuj
Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagają weryfikacji.
Uwagi: Niezależne Państwo Chorwackie utworzono w 1941 roku; w roku 1940 istniała Banowina Chorwacji w ramach Królestwa Jugosławii.. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tej sekcji. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tej sekcji.
Po zakończeniu kariery sportowej, w roku 1948 Zvonko Jazbec zdał egzamin na trenera na Akademii Wychowania Fizycznego w Zagrzebiu, a w roku 1951 przeprowadził się do Rijeki, gdzie był trenerem klubów NK Kvarner i NK Orijent. Później był jeszcze trenerem zespołu Tekstilac Varaždin. Jazbec zmarł 15 marca 1970 w Zagrzebiu, do którego z powrotem przeprowadził się w roku 1963, na zapalenie opon mózgowych.