Negacja

Symbole negacji

autorzy	zapis
Heyting	$\neg p$
Schröder Peirce	$p'$
Peano Russell	$\sim p$
Hilbert	${\overline {p}}$
Łukasiewicz	$Np$

Negacja (z łac. negatio), zaprzeczenie – pojęcie logiki i językoznawstwa o kilku znaczeniach:

• działanie jednoargumentowe na zbiorze zdań (funktor zdaniotwórczy), które każdemu zdaniu p przypisuje zdanie nie p;
• wynik tego działania, tj. wartość funktora – zdanie mające postać nieprawda, że p, gdzie p jest zdaniem;
• odpowiednią funkcję na zbiorze wartości logicznych;
• odpowiedni funktor na zbiorze nazw.

W logice formalnej, np. rachunku zdań, negacja ma różne zapisy:

• osobny symbol $(\neg p),$
• tylda $(\sim p),$
• prim $(p'),$
• makron $({\overline {p}}).$

Odczytuje się to nieprawda, że p lub nie jest tak, że p. Inny symbol negacji – zwłaszcza jako funkcji boolowskiej i bramki logicznej – to angielska partykuła NOT.

Definicja w logice dwuwartościowej

Tablica prawdy dla negacji

$p$	$\neg p$
0	1
1	0

Niech $\mathbb {B}$ będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych: $\mathbb {B} =\{0,1\}.$ Negacja $\neg \,:\mathbb {B} \to \mathbb {B}$ jest funkcją ze zbioru $\mathbb {B}$ w zbiór $\mathbb {B} ,$ określoną następująco:

$\neg \,p=1-p$,

czyli

$\neg \,0=1$

$\neg \,1=0$.

Negację zdania p uważa się za prawdziwą, gdy zdanie p jest fałszywe, zaś za fałszywą, gdy zdanie p jest prawdziwe:

1 – prawda (lub zdanie prawdziwe),

0 – fałsz (lub zdanie fałszywe).

Własności

W klasycznym rachunku zdań negacja pojawia się w szeregu tautologii, tj. formuł prawdziwych zawsze, bez względu na prawdziwość zdań składowych. Odpowiadają im pewne tożsamości opisujące dopełnienie zbioru.

Zasada niesprzeczności

Zasada niesprzeczności (zwana także zasadą sprzeczności) głosi, że z dwóch zdań sprzecznych najwyżej jedno jest prawdziwe (lub równoważnie, co najmniej jedno jest fałszywe):

$\neg (p\,\land \,\neg \,p)$,

gdzie $\land$ jest znakiem koniunkcji (oznacza spójnik ‘i’).

Przykład:

• Niech $p$ będzie zdaniem Mam ciastko.
• Wówczas $\neg \,p$ ma postać: Nie mam ciastka.
• Ich koniunkcja $p\,\land \,\neg \,p$ to Mam ciastko i nie mam ciastka (jest to zdanie fałszywe).
• Zaprzeczenie tej koniunkcji $\neg (p\,\land \,\neg \,p)$ (Nieprawda, że mam ciastko i nie mam ciastka) jest zdaniem prawdziwym.

Prawo wyłączonego środka

Zasada wyłączonego środka mówi, że z dwóch zdań sprzecznych co najmniej jedno jest prawdziwe:

$p\,\lor \,\neg \,p$,

gdzie $\lor$ jest znakiem alternatywy (oznacza spójnik lub).

Przykład:

• Niech zdanie $p$ ma postać: Jutro będzie padał deszcz.
• Wówczas $\neg \,p$ to Jutro nie będzie padał deszcz.
• Jedno z nich jest prawdziwe (możemy nie wiedzieć które).
• Ich alternatywa $p\,\lor \,\neg \,p$ (Jutro będzie padał deszcz lub jutro nie będzie padał deszcz) jest zawsze prawdziwa.

Prawo podwójnego przeczenia

Złożenie dwóch negacji jest równoważne wyjściowemu zdaniu:

$\neg \,(\neg \,p)\Leftrightarrow p.$

Podwójne przeczenie się znosi, lub po łacinie: duplex negatio affirmat, tzn. podwójne przeczenie, to tyle co twierdzenie.

Przykład:

• Niech zdanie $p$ oznacza: Warszawa jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe).
• Wówczas $\neg \,p$ ma postać: Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie fałszywe).
• Natomiast $\neg \,(\neg \,p)$ można zapisać: Nieprawda, że Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe i równoważne zdaniu $p$).

Inne

Negację zawierają też prawo kontrapozycji i prawa De Morgana.

Zobacz też

• algebra Boole’a
• bramka NOT
• kwantyfikator

Bibliografia

• Kazimierz Ajdukiewicz: Zarys logiki. Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1957. OCLC 749403627.
• Andrzej Grzegorczyk: Zarys logiki matematycznej. Wyd. 4. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1975. OCLC 749328557.
• Andrzej Mostowski: Logika matematyczna. Kurs uniwersytecki. Warszawa: 1948, seria: Monografie matematyczne t. 18. OCLC 250092935.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
• Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
• Jerzy Słupecki, Katarzyna Hałkowska, Krystyna Piróg-Rzepecka: Logika matematyczna. Wyd. 2. popr. i uzup. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-12958-1.

Linki zewnętrzne

• Laurence R.L.R. Horn Laurence R.L.R., HeinrichH. Wansing HeinrichH., Negation, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, CSLI, Stanford University, 20 lutego 2020, ISSN 1095-5054 [dostęp 2020-02-21]  (ang.).