Otwórz menu główne

Łańcuch Markowa

ciąg zdarzeń, w którym prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zależy od wyniku poprzedniego
Przykład procesu Markowa

Proces Markowaciąg zdarzeń, w którym prawdopodobieństwo każdego zdarzenia zależy jedynie od wyniku poprzedniego. W ujęciu matematycznym, procesy Markowa to takie procesy stochastyczne, które spełniają własność Markowa.

Łańcuchy Markowa to procesy Markowa z czasem dyskretnym.

Łańcuch Markowa jest ciągiem zmiennych losowych. Dziedzinę tych zmiennych nazywamy przestrzenią stanów, a realizacje to stany w czasie Jeśli rozkład warunkowy jest funkcją wyłącznie zmiennej

to mówimy, że proces stochastyczny posiada własność Markowa.

Przedstawiona definicja zakłada czas dyskretny. Istnieją procesy Markowa z czasem ciągłym, jednak nie są one przedstawione w tym artykule.

Procesy Markowa zawdzięczają swoją nazwę ich twórcy Andriejowi Markowowi, który po raz pierwszy opisał problem w 1906 roku. Uogólnienie na przeliczalnie nieskończone przestrzenie stanów zostało opracowane przez Kołmogorowa w 1936. Łańcuchy Markowa mają związek z ruchami Browna oraz hipotezą ergodyczną, dwoma ważnymi w fizyce tematami, ale powstały jako uogólnienie prawa wielkich liczb na zdarzenia zależne.

Własności łańcuchów MarkowaEdytuj

Rozkład początkowyEdytuj

Rozkładem początkowym nazywamy rozkład (dyskretny) zmiennej  

Macierz przejśćEdytuj

DefinicjaEdytuj

Jeśli łańcuch Markowa jest jednorodny, rozkład prawdopodobieństw przejść między poszczególnymi stanami może być przedstawiony jako macierz, zwaną macierzą prawdopodobieństw przejścia. Jest to macierz stochastyczna, oznaczamy zwykle literą   gdzie wyraz   wyraża się wzorem:

 

Z jednorodności wynika, że rzeczywiście   nie zależy od   Przykładowo element   oznacza prawdopodobieństwo przejścia ze stanu pierwszego do stanu trzeciego.

Równania Chapmana-KołmogorowaEdytuj

Prawdopodobieństwem przejścia ze stanu   do stanu   w   krokach nazywa się prawdopodobieństwo warunkowe

 

Dla prawdopodobieństw przejść spełnione są następujące równanie, nazywane równaniami Chapmana-Kołmogorowa:

 

Intuicyjne jest jasne, że aby dojść do stanu   można po drodze przejść przez dowolny inny stan skomunikowany z   i   Stosując zapis macierzowy, równania Chapmana-Kołmogorowa można zapisać w postaci:

 

gdzie przez   jest macierzą przejść w   krokach.

Klasyfikacja stanówEdytuj

Mówi się, że:

  • stan   jest osiągalny ze stanu   jeśli  
  • stany   i   są skomunikowane, jeśli są wzajemnie osiągalne. Oznaczenie:  

Można wykazać, że relacja skomunikowania jest relacją równoważności. Zatem zbiór możliwych stanów można podzielić na klasy abstrakcji względem tej relacji. Każda z klas tworzy zbiór stanów wzajemnie skomunikowanych.

Stany chwilowe i rekurencyjneEdytuj

Niech   oznacza prawdopodobieństwo tego, że startując ze stanu   łańcuch kiedykolwiek do niego powróci.

  • Jeśli   to stan   nazywany jest rekurencyjnym.
  • Jeśli   to stan   nazywany jest chwilowym.

Każdy stan jest albo chwilowy albo rekurencyjny. Stan   jest rekurencyjny wtedy i tylko wtedy, gdy:

 

Rozkład stacjonarnyEdytuj

Rozkład prawdopodobieństw na przestrzeni stanów   nazywany jest stacjonarnym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:

 

tj.

 

gdzie   jest takim wektorem wierszowym, że:

 

Jeśli rozkład początkowy   jest stacjonarny, to każdy kolejny rozkład   również jest stacjonarny.

Może nie istnieć żaden, istnieć jeden lub więcej niż jeden rozkład stacjonarny dla danego procesu.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • Maria Podgórska i in.: Łańcuchy Markowa w teorii i zastosowaniach. Warszawa: Szkoła Główna Handlowa, Oficyna Wydawnicza, 2002.
  • Anzelm Iwanik, Jolanta Katarzyna Misiewicz: Wykłady z procesów stochastycznych z zadaniami. Cz. 1, Procesy Markowa. Zielona Góra: Oficyna Wydawnicza Uniwersytetu Zielonogórskiego, 2009.

Linki zewnętrzneEdytuj