Otwórz menu główne

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie macierzą kwadratową stopnia   Śladem macierzy   nazywamy wielkość

 

Stosuje się również oznaczenia   oraz   Macierz, której ślad jest równy zeru nazywa się czasami macierzą bezśladową.

WłasnościEdytuj

  • Ślad jest operatorem liniowym. Niech   oraz   wówczas:
    •  addytywność operacji liczenia śladu,
    •  jednorodność operacji liczenia śladu.
  • Przekątna główna macierzy nie ulega zmianie przy transpozycji, stąd
     
  • Jeśli   to
 
  • Jeśli   to
  (wszystkie przesunięcia cykliczne), niekoniecznie jednak  

Przekształcenia linioweEdytuj

Ślad macierzy podobnych jest identyczny, ponieważ dla dowolnej macierzy odwracalnej   zachodzi

 

Niech   będzie przekształceniem liniowym określonym na przestrzeni   Powyższa obserwacja pozwala na zdefiniowanie śladu endomorfizmu przestrzeni liniowych jako śladu jego macierzy w dowolnej bazie.

Ślad endomorfizmu można też opisać jawnie: jeżeli   jest   wymiarową przestrzenią wektorową, a  n-liniową niezerową formą alternującą, to odwzorowaniu   można przyporządkować formę n-liniową:

 

Forma ta jest równa   a stałą proporcjonalności można nazwać   Da się pokazać, że taka zdefiniowany ślad jest równy śladowi macierzy endomorfizmu w dowolnej bazie.

Niech   będą wartościami własnymi macierzy   Ponieważ   można przekształcić przez podobieństwo (poprzez zmianę bazy) do macierzy w postaci Jordana, której wartości własne znajdują się na głównej przekątnej, to zachodzi

 

Bezpośrednią konsekwencją powyższego jest równość

 

Operatory śladoweEdytuj

Można podać ogólniejszą definicję, dotyczącą nie tylko macierzy, ale również operatorów przestrzeni Hilberta.

Niech   będzie przestrzenią Hilberta,   jej bazą ortonormalną oraz niech

 

gdzie   oznacza zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta przestrzeni   tj. takich operatorów liniowych i ciągłych   że

 

Funkcja   dana wzorem

 

nazywana jest śladem.

Operatory należące do   nazywane operatorami śladowymi.

Powyższa definicja jest poprawna i nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni   W przypadku, gdy   jest przestrzenią skończeniewymiarową, to każdy jej operator reprezentowany jest przez pewną macierz. Wówczas wartość operatora śladowego na dowolnym jej operatorze pokrywa się z wartością śladu macierzy tego operatora.

Pojęcie śladu wprowadza się także dla szerokiej klasy algebr Banacha, na przykład w kontekście nieprzemiennych przestrzeni   na algebrach von Neumanna.

BibliografiaEdytuj

  • F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.