Otwórz menu główne

Średnia arytmetyczna

iloraz sumy liczb i ilości tych liczb

Średnia arytmetyczna – iloraz sumy liczb i liczby tych liczb. Inaczej mówiąc to suma liczb podzielona przez ich liczbę.

Dla liczb jest to wyrażenie

Przykłady zastosowaniaEdytuj

Średnia arytmetyczna jest właśnie tym, co w potocznym języku określa się mianem średniej. Można ją również określić jako średnią potęgową rzędu 1.

Na przykład średnią czterech liczb, –5, –3, 0 i 12, jest

 

Średnia arytmetyczna jest jedną z najbardziej intuicyjnych miar oceny populacji, stosowanych często w codziennym życiu – przykładem może być średnia ocen z matematyki ucznia szkoły podstawowej, który otrzymał następujące noty: 2, 4, 4, 5, 6

 

W podobny sposób można mówić o średniej płacy w danej firmie, średniej cenie pomarańczy na targowiskach w lipcu 2004 roku czy średnim wzroście poborowych w danym roczniku.

Średnia arytmetyczna jest dobrą miarą położenia rozkładu i jednocześnie miarą tendencji centralnej. Jest to miara klasyczna rozkładu, czyli każda zmiana dowolnego elementu badanego zbioru pociąga za sobą zmianę wartości średniej.

Właściwości statystyczne średniej z próbyEdytuj

Odchylenie standardowe średniejEdytuj

Jeśli uśredniamy   nieskorelowanych[1] zmiennych o odchyleniach standardowych   to odchylenie ich średniej arytmetycznej jest równe średniej kwadratowej odchyleń tych zmiennych:

 

Jeśli zmienne są skorelowane, wówczas odchylenie średniej będzie inne, np. dla dwóch zmiennych  

 

gdzie   to współczynnik korelacji między nimi.

W ogólnym przypadku dla   skorelowanych zmiennych:

 

gdzie   to kowariancja i-tej i j-tej zmiennej.

Prawo wielkich liczbEdytuj

Osobny artykuł: prawo wielkich liczb.

Niech   będzie zmienną losową o skończonej wariancji i wartości oczekiwanej   oraz niech   będzie prostą próbą losową z tej zmiennej. Prawdopodobieństwo, że średnia będzie oszacowana precyzyjnie (znajdzie się nie dalej od prawdziwej wartości niż o dowolnie mały dodatni błąd  ) dąży do 100% wraz ze wzrostem próby:

 

Innymi słowy średnia próbkowa dąży do wartości oczekiwanej w populacji wraz ze wzrostem liczności próby. Prawo wielkich liczb można wzmocnić na dwa sposoby, przedstawione dalej.

Centralne twierdzenie graniczneEdytuj

Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym rozkład średniej z  -elementowej próby wraz ze wzrostem   coraz lepiej odpowiada rozkładowi normalnemu o wartości oczekiwanej   i odchyleniu   gdzie   oraz   to odpowiednio wartość oczekiwana oraz odchylenie standardowe w populacji, z której losowana jest próba. Ściślej dla dowolnych liczb rzeczywistych   takich, że  

 

gdzie:

  •   to zmienna o standardowym rozkładzie normalnym (o wartości oczekiwanej zero i wariancji równej jeden),
  •   to dystrybuanta rozkładu normalnego  

Twierdzenie to jest prawdziwe niezależnie od rozkładu w populacji. Właściwość ta jest wykorzystywana w wielu metodach statystycznych i estymatorach. Centralne twierdzenie graniczne jest uogólnieniem prawa wielkich liczb, gdyż opisuje zachowanie całego rozkładu średniej, podczas gdy prawo wielkich liczb opisywało jeden jego parametr (wartość oczekiwaną).

Właściwości średniej jako estymatoraEdytuj

Średnia arytmetyczna z próby jest, niezależnie od rozkładu, estymatorem zgodnym i nieobciążonym wartości oczekiwanej rozkładu, z którego próba była losowana. Jeśli jest to rozkład normalny, to średnia jest również estymatorem efektywnym.

OgraniczeniaEdytuj

Średnia arytmetyczna jest podatna na skośność rozkładu i obserwacje odstające. W takiej sytuacji inne średnie, takie jak mediana, czy statystyki odpornościowe, np. średnia ucinana lub metody z regularyzacją, mogą dawać lepsze wyniki[2][3].

Nierówność Jensena oznacza, że funkcja średnich ma inną wartość niż średnia tej funkcji;

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Nie muszą być niezależne, wystarcza zerowa wartość współczynnika korelacji Pearsona.
  2.   Jeffrey N. Rouder, Jason Dana, Clintin P. Davis-Stober, Estimation accuracy in the psychological sciences, „PLOS ONE”, 13 (11), 2018, e0207239, DOI10.1371/journal.pone.0207239, ISSN 1932-6203, PMID30475810, PMCIDPMC6261010 [dostęp 2019-04-05] (ang.).
  3. Andy P. Field, Rand R. Wilcox, Robust statistical methods: A primer for clinical psychology and experimental psychopathology researchers, „Behaviour Research and Therapy”, 98, 2017, s. 19–38, DOI10.1016/j.brat.2017.05.013 [dostęp 2019-04-05] (ang.).

BibliografiaEdytuj

  • Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Warszawa: WNT, 2001. ISBN 83-204-2684-7.
  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna. Warszawa: PWN, 2006, s. 48. ISBN 83-01-14292-8.