σ-pierścień

σ-pierścień – niepusta rodzina zbiorów zamknięta ze względu na przeliczalne sumy i dopełnienia, tzn.

WłasnościEdytuj

Z powyższych dwóch własności wynika wprost, iż

 

ponieważ

 

Jeżeli pierwszą własność osłabi się do zamknięcia ze względu na skończone sumy, tzn.

 

ale nie na przeliczalne, to   jest pierścieniem, lecz nie σ-pierścieniem zbiorów.

Jeśli nie wymaga się, aby zbiór uniwersalny był mierzalny, to do zbudowania teorii miary i całki zamiast σ-ciał można wykorzystać σ-pierścienie. Każde σ-ciało jest σ-pierścieniem, lecz σ-pierścień nie musi być σ-ciałem.

Każdy σ-pierścień indukuje σ-algebrę: jeżeli   jest σ-pierścieniem nad zbiorem   to rodzina wszystkich podzbiorów   które są elementami   bądź których dopełniania są elementami   jest σ-algebrą nad zbiorem  

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  1. Walter Rudin, 1976. Principles of Mathematical Analysis, 3rd. ed. McGraw-Hill. W ostatnim rozdziale autor korzysta z σ-pierścieni do budowy teorii Lebesgue'a.