σ-pierścień

σ-pierścień – niepusta rodzina zbiorów ${\mathcal {R}}$ zamknięta ze względu na przeliczalne sumy i dopełnienia, tzn.

• $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}},{\mbox{ gdy }}A_{n}\in {\mathcal {R}}{\mbox{ dla wszystkich }}n\in \mathbb {N} ;$
• $A\setminus B\in {\mathcal {R}},{\mbox{ gdy }}A,B\in {\mathcal {R}}.$

Własności

Z powyższych dwóch własności wynika wprost, iż

$\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}},{\mbox{ gdy }}A_{n}\in {\mathcal {R}}{\mbox{ dla wszystkich }}n\in \mathbb {N}$

ponieważ

$\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=A_{1}\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }(A_{1}\setminus A_{n}).$

Jeżeli pierwszą własność osłabi się do zamknięcia ze względu na skończone sumy, tzn.

$A\cup B\in {\mathcal {R}},{\mbox{ o ile tylko }}A,B\in {\mathcal {R}},$

ale nie na przeliczalne, to ${\mathcal {R}}$ jest pierścieniem, lecz nie σ-pierścieniem zbiorów.

Jeśli nie wymaga się, aby zbiór uniwersalny był mierzalny, to do zbudowania teorii miary i całki zamiast σ-ciał można wykorzystać σ-pierścienie. Każde σ-ciało jest σ-pierścieniem, lecz σ-pierścień nie musi być σ-ciałem.

Każdy σ-pierścień indukuje σ-algebrę: jeżeli ${\mathcal {R}}$ jest σ-pierścieniem nad zbiorem $X,$ to rodzina wszystkich podzbiorów $X,$ które są elementami ${\mathcal {R}},$ bądź których dopełniania są elementami ${\mathcal {R}}$ jest σ-algebrą nad zbiorem $X.$

Zobacz też

• δ-pierścień
• pierścień zbiorów
• σ-ciało

Bibliografia

• Walter Rudin, 1976. Principles of Mathematical Analysis, 3rd. ed. McGraw-Hill. W ostatnim rozdziale autor korzysta z σ-pierścieni do budowy teorii Lebesgue'a.